Programme de mathématiques BCPST, seconde année
a) Produit scalaire dans $\mathbb{R}^n$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Produit scalaire usuel dans $\mathbb{R}^n$. Écriture matricielle. Bilinéarité. | |
Norme euclidienne. Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire. Cas d’égalité. | Le recours à l’inégalité de Cauchy-Schwarz devra être précisé. |
Vecteurs orthogonaux. | Définition de deux matrices colonnes orthogonales. |
Une famille de vecteurs non nuls deux à deux orthogonaux est libre. Théorème de Pythagore. | |
Bases orthonormales de l’espace $\mathbb{R}^n$ ou d’un sous-espace de $\mathbb{R}^n$. | On souligne le fait que le produit scalaire et la norme se calculent de la même manière dans toutes les bases orthonormales. Les algorithmes d’orthonormalisation ne sont pas au programme. |
exo7 3733
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3739
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3746
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3754
Soit \(P \in {\cal O}(n)\). A l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : ...
exo7 3765
Soit \(u : E \to E\) telle que : ...
exo7 3781
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)\) symétrique de valeurs propres ...
exo7 3801
On note \(P\) l’ensemble des fonctions \(f\) polynomiales par morceaux, continues ...
exo7 3813
Déterminer \(a\), \(b\), \(c\), réels non nuls p ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3841
Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \(u : {[a,b]} \to \R\) une fonction continu ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4427
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...
exo7 488
Soient \(a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr\), les \(a_i\) n’étant pas tous ...
exo7 4966
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier de côté \(a\). Chercher la distance entre deu ...
exo7 5216
Soient \(a_1\),..., \(a_n\), \(b_1\),..., ...
exo7 5483
Soit \(E\) un \(\Rr\) espace vectoriel de dimension finie. Soit ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5493
Montrer que \(u\wedge v|w\wedge s=(u|w)(v|s)-(u|s)(v|w)\) et ...
exo7 5494
Existence, unicité et calcul de \(a\) et \(b\) tels que ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5496
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\geq1\). Une famille de ...
exo7 5779
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles posit ...
exo7 5788
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\) non nulle. Soit ...
exo7 5789
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension ...
exo7 5790
Montrer que pour toute matrice carrée \(A\) réelle de format \(n\), on a ...
exo7 5791
Soit \(A\) une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de ...
exo7 5805
\(O_n(\Rr)\) est-il convexe ? \(O_n(\Rr)\) contient-il trois points alignés?
exo7 5813
Soit \(A\) une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu’il exis ...
exo7 6208
Montrer que pour tout \(x\in\Rr^n\), ...
exo7 6209
Sur \(M_n(\Rr)\) on note \(|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||\) la norme opérateur de la ...
exo7 6368
Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de clas ...
exo7 7262
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. On considère l ...
exo7 7263
Soit \(E\) un plan et \((0,\vec{\imath},\vec{\jmath})\) un repère. Soient ...
exo7 7444
On considère \(\Rr^{4}\) muni de son produit scalaire usuel. Soit \(F\) le sous e ...
exo7 7446
Soit \(E\) l’espace vectoriel \(\Rr^3\) muni du produit scalaire canonique et de ...
exo7 7500
Dans l’espace vectoriel euclidien \(\Rr^3\) muni du produit scalaire standard et de la base canonique ...
exo7 7517
Soit \((\R_{ev}^3, standard)\) l’espace euclidien standard muni de la base canonique.
Déterminer une base o ...
exo7 7810
Diagonaliser dans une base orthonormée pour le produit scalaire standard, la forme bilinéaire symétrique sur ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...