Programme de mathématiques MP, MPI
Calcul différentiel et optimisation
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En première année, l’étudiant a rencontré les dérivées partielles d’une fonction numérique définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^2$.
Les objectifs de cette section sont les suivants :
- généraliser et approfondir cette étude, en présentant les notions fondamentales de calcul différentiel dans le cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie sur $\mathbb{R}$ ;
- donner une introduction à la thématique de l’optimisation, en lien avec le théorème des bornes atteintes du cours de topologie.
On souligne le caractère géométrique des notions. En particulier, on exploite la possibilité de se ramener, pour un certain nombre de questions, à des fonctions d’une variable réelle, à travers l’utilisation de la formule donnant la dérivée d’une fonction le long d’un arc et la notion de vecteur tangent à une partie en un point.
Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert d’un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $E$ de dimension finie et à valeurs dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé $F$ de dimension finie.
Le choix d’une base de l’espace d’arrivée permet de se ramener au cas des fonctions à valeurs réelles.
- a) Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles 69
- b) Différentielle 129
- c) Opérations sur les applications différentiables 5
- d) Applications de classe $\mathscr{C}^1$ 3
- e) Vecteurs tangents à une partie d’un espace normé de dimension finie 12
- f) Optimisation : étude au premier ordre 62
- g) Applications de classe $\mathscr{C}^k$ 4
- h) Optimisation : étude au second ordre 19
exo7 2633
Soit la fonction \(f\colon\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2634
Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approchée des nombres suivants: ...
exo7 2635
Calculer les différentielles suivantes, sans calculer des dérivées partielles, en utilisant les propriétés des différentielles de sommes, produits ...
exo7 2637
Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) ...
exo7 2639
Soit \(f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R\) une fonction de classe ...
exo7 2640
Les variables étant notées \(x\) et \(t\), trouver la solution générale ...
exo7 2642
Trouver les points critiques de la fonction \(f\) suivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima ...
exo7 2643
Soit \(f\) une fonction réelle d’une variable réelle de classe \({\rm C}^2\) dans ...
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2651
Soit \(f:D\subset \R^m\to\R^n\) et \(a\in D\). Donner la définition de “ ...
exo7 2654
On considère la fonction \[f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).\] Son graphe est reproduit dans l ...
exo7 2684
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\R_+^n\) par ...
exo7 2685
Dans \(\R^3\), soit \({\bf U}\) un champ vectoriel arbitraire, ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 3999
Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : ...
exo7 4088
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et \(a\in\R\) vérifiant : ...
exo7 4089
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4115
Soit \(n>0\) et ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4130
Soit \(f\) une application minorée et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4137
Soit \(f : {\R^3} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que ...
exo7 4140
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4141
Soient \({u,v,f,g} : {\R^2} \mapsto \R\) des fonctions de classe ...
exo7 4143
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), et ...
exo7 4144
Soient \(f : {\R^3} \mapsto \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\), ...
exo7 4145
Soit \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^2\) de ...
exo7 4146
Soit \(f:\R \to \R\) une fonction \(\pi\)-périodique de classe ...
exo7 4148
Trouver \({f_k} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^k\) telle que les ...
exo7 4150
Soit \(\varphi : {\R^2} \to {\R^2}\) une application affine.
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4152
Déterminer les fonctions \(f : {D \subset {\R^2}} \to \R\) vérifiant :
exo7 4158
Soit \(f : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Démontrer que : ...
exo7 4164
On considère la courbe d’équation \(e^{x-y} = 1+2x+y\). Donner la tangente à cette courbe et la position par rappo ...
exo7 4166
Montrer que l’égalité \(2e^{x+y} + y - x = 0\) définit \(y = \varphi(x)\) au vois ...
exo7 4167
Soit \(f(x,y) = x\ln x - y\ln y\) \((x,y > 0)\).
Pour ...
exo7 4168
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\).
exo7 4170
On considère la fonction de \(\R^2\) sur lui-même définie par \(f(x,y)=(u,v)\), o ...
exo7 4171
Soit \(f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) dont les dér ...
exo7 4172
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}\)
Montrer que ...
exo7 4176
Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\C)} \to {\mathcal{M}_n(\C)}, M \mapsto {\exp(M).}\)
exo7 4177
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(f : E \to E\) de classe ...
exo7 4178
Pour chacune des trois normes classiques sur \(\R^2\) dire en quels points elles sont différentiables.
exo7 4180
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4182
On pose pour \((x,y)\in\R^2\) : ...
exo7 4184
Soit \({f} : {\R^n} \to {\R^n}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4185
Soit \(\Omega\) un ouvert borné de \(\R^2\) et ...
exo7 4186
Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, ...
exo7 4190
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans ...
exo7 4191
Chercher les extrémums des fonctions \(f(x,y)\) suivantes :
exo7 4192
Soit \(A \in \R^p\) fixé et \(f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}\) ...