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Soit \(J\in M_{n}({\Rr})\) une matrice telle que : \(J^{2}=I\) et ...

Soit ...

Soient, pour \(n>0\), \(u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}\) e ...

Etudier les séries de termes généraux

Étudier, suivant les valeurs de \(p \in \Nn\), la nature de la série de terme général ...

Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence :

Etudier les séries de termes généraux

Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l’intégrale généralisée suivante ...

Soit \(u_n\) une suite décroissante à termes positifs. On suppose \((\sum u_n)\) ...

En justifiant votre réponse, classer les dix séries \(\sum u_n\) suivantes en 4 catégories

• GD: cel ...

Soit \(a>0\) fixé. Pour \(n\) entier positif ou nul on définit ...

Pour tout entier \(n>0\), soit \(u(n)=(-1)^n/n\) . Soit ...

Soit \(\displaystyle I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}d x\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...

Soit \((a_n)\) un suite de réels strictement positifs telle que \(\sum a_n\) conv ...

Déterminer, en fonction des paramètres réels \(\alpha\), \(\beta\), la nature des ...

Justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes ...

En comparant avec les intégrales de Wallis \[I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,\] déterminer la nature et calcul ...

Pour quelles valeurs de \(p\) (réel) \(\prod_{k=1}^\infty (1 + k^{-p})\) converge ...

On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...

Soit \(E\) l’ensemble des suites \((u_n)_{n\in\N}\) à termes réels telles que la ...

Établir la convergence et calculer la somme de \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^3)^n}\). ...

Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...

Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec ...

Étudier la convergence des séries de terme général :

Soit la suite de terme général : \(u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}\) où \(P\) es ...

Quelle est la nature de la série de terme général \(\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)\) ?

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a\) et ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n\) converge. Calculer à la machine une valeur a ...

Montrer que la série \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}\) converge. Calculer une valeur approchée à ...

L’une au moins des deux séries : \(\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}\) et ...

Soit \((a_n)\) une suite réelle positive. On pose ...

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) deux suites réelles telles que ...

Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}\).

Calculer les sommes des séries suivantes :

Convergence et somme de la série de terme général ...

Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6\). Calculer ...

On admet que \(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2\). Montrer que la série ...

Pour quelles valeurs de \(a,b\in \R\) la série de terme général ...

Montrer que \(\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2\). (On pourra calculer ...

Soit \(a \in \R\).

Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c’est-à-dire que sa projection sur un plan horizonta ...

Soit \(u_{n,k}\) le reste de la division du \(n\) par ...

Soit la suite de terme général \(u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n\).

Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(\sum |u_n|\) et ...

On considère une suite \((u_n)_{n\ge 1}\) telle que la série ...

Soit \((u_n)\) une suite à termes strictement positifs convergeant vers \(0\). On ...

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs convergente.

Étudier la convergence de la série de terme géné ...

Soit \((u_n)\) définie par : \(u_1 \in \R\), ...