Programme de mathématiques MP, MPI
c) Intégration d’une limite uniforme sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $F$, $a$ un point de $I$. On suppose que $(u_n)$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $u$. Pour $n\in\mathbb{N}$ et $x\in I$ soit $\displaystyle U_n(x)=\int_a^x u_n,\quad U(x)=\int_a^x u.$ Alors $(U_n)$ converge uniformément vers $U$ sur tout segment de $I$. | En particulier, si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur le segment $[a,b]$, alors : $\displaystyle\int_a^b u_n\to\int_a^b u$. |
exo7 1950
Soit \(f\) une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période ...
exo7 4132
On définit une suite de fonctions sur \([0,1]\) de la manière suivante : \(f_0\) ...
exo7 4252
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive décroissante.
...
exo7 4281
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ...
exo7 4334
Chercher \(\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t\).
exo7 4355
Soit \(\theta\in{]0,\pi[}\). Montrer que ...
exo7 4359
On pose pour \(n\ge2\) : \(v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x\). Montrer que ...
exo7 4363
Soit \(\alpha \in \R\). Trouver la limite de ...
exo7 4365
Développer, pour tout \(x>0\), ...
exo7 4373
Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...
exo7 4505
Soit \(f_n(x) = n\cos^nx\sin x\).
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4532
Étudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions : \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty ne^{-nx}\).
exo7 4537
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{x(x+1)\dots(x+n)}\).
exo7 4543
Soit \(f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}\).
exo7 4546
Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...
exo7 4555
Soin \((a_n)_{n\ge 1}\) une suite complexe telle que la série \(\sum a_n\) conver ...
exo7 4556
Soit \(f : \R \to \R\) continue et \(2\pi\)-périodique. Pour ...
exo7 4558
On pose pour \(x\in\R\) : ...
exo7 4560
[\(x\in\,]0,\pi[\), TPE MP 2005]
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4628
Montrer que : \(\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}\).
exo7 4650
Soit \(f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k\).
exo7 4660
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 5731
Soit \(f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}\).
exo7 5733
Montrer que pour tout réel \(a > 0\), ...
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 5744
Montrer que pour tout réel \(x\), ...
exo7 5765
Pour \(n\in\Nn^*\) et \(x\in]0,+\infty[\), on pose ...
exo7 5911
Calculer le volume de \(B=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\Rr^n/\;x_1^2+\ldots+x_n^2\leqslant1\}\) (boule unité fermée de ...
exo7 5917
En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 6319
On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles \((y_n)\) par la relation ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.