Parcourir les exercices

Soient \(u,v,f\) définies par : ...

Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) avec ...

Donner un développement : \[\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}).\]

Soient \(0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p\) des réels fixés.

Montrer que l’équation \(\tan x = x\) possède une unique solution \(x_n\) dans ...

On note \(f_n(x) = x\cos^nx\). Soit \(x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]\) tel qu ...

Soit \(f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x\).

Soit \(f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}\). Montrer que pour tout \(n\in\N^*\) ...

Soit \(u_n\) une suite réelle telle que pour tout \(n\) on ait ...

Montrez que pour \(n\) entier (\(n>0\)) l’équation ...

Pour tout \(n\) entier naturel non nul, on donne ...

Soit \(\alpha \in {]0,1[}\).

Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de ...

Donner un équivalent pour \(x\to+\infty\) de ...

Soit \(f : {[0,1]} \to \R\) continue. Montrer que ...

Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...

Donner les deux premiers termes du DL pour \(n\to\infty\) de ...

Chercher un équivalent pour \(n\to\infty\) de ...

Soit \(I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x\).

Montrer que \(\Gamma(x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}\) pour \(x\) réel tendant v ...

Soient \(J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}\) et ...

Soit \((a_n)_{n\in\N}\) la suite définie par \(a_0=1\) et ...

Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...

Si \(\alpha>0\), donner la nature des séries ...

Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de :

Soit la suite de terme général \(u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n\).

Soit \((u_n)\) une suite réelle positive telle que ...

Montrer que \(n! = \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\frac 1{12n} + O\left(\frac 1{n^2}\right)\right)\) ...

Déterminer la limite simple des fonctions \(f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}\) sur ...

Pour \(x>1\) on pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}\) et po ...

Soit \(S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}\).

On pose pour \(x\in\R\) : ...

On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}\).

Pour \(p>0\) on donne la courbe \(\Gamma\) d’équation ...

On pose \(u_1=1\) et, \(\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n}\). Montrer qu ...

Soit \(u\) la suite définie par \(u_0=\frac{\pi}{2}\) et, ...

Déterminer les développements limités à l’ordre demandé au voisinage des points indiqués :

Développement asymptotique à la précision \(\frac{1}{n^3}\) de ...

Montrer que l’équation \(\tan x=x\) a une unique solution dans l’intervalle ...

Montrer que l’équation \(x+\ln x=k\) admet, pour \(k\) réel donné, une unique sol ...

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^2\) sur ...

Trouver un développement limité à l’ordre \(4\) quand \(n\) tend vers l’infini de ...

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants :

Donner un développement à la précision \(\frac{1}{n^2}\) de la \(n\)-ième racine ...

Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...

Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...

Étudier la convergence et calculer la limite éventuelle de la suite \((u_{n})_{n\in \Nn^{*}}\) définie par : ...

Étudier les courbes d’équations polaires suivantes:

Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).