Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
c) Détermination d’une application linéaire
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ telle que, pour tout $i \in I$, $u(e_i) = f_i$. Espaces vectoriels isomorphes, caractérisation par la dimension. Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité. Un endomorphisme d’un espace de dimension finie inversible à gauche ou à droite est inversible. Dimension de $\mathscr{L}(E, F)$ si $E$ et $F$ sont de dimension finie. Si $E_1$ et $E_2$ sont des sous-espaces de $E$ tels que $E = E_1 \oplus E_2$, si $u_1 \in \mathscr{L}(E_1, F)$, $u_2 \in \mathscr{L}(E_2, F)$, il existe une unique application $u \in \mathscr{L}(E, F)$ coïncidant avec $u_1$ sur $E_1$ et avec $u_2$ sur $E_2$. | Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de $u$. |
exo7 1023
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire \(f\) sur \(\Rr^2\) telle que ...
exo7 1107
On considère l’espace \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées ...
exo7 1464
Soit \(E\) un espace euclidien et \(f\) et \(g\) ...
exo7 1522
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels et soit ...
exo7 1566
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et ...
exo7 1607
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1676
que \(f^3+f^2+f=0\) où \(E\) est un \(\Rr\)-espa ...
exo7 2031
On considère les 4 points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2743
Soit \(f\) une application linéaire surjective de \(\mathbb{R}^{4}\) dans ...
exo7 3183
Soit \(\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}\) commutant avec la dérivation, c’est à dire : ...
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3315
Est-il vrai que \(\mathcal{L}({E\times F})\) et ...
exo7 3336
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3337
Soient \(E,F,G\) trois \(K\)-ev avec \(\dim(G)\) ...
exo7 3338
Soient \(E\) en ev de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).
exo7 3339
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie. Le centre de ...
exo7 3340
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
exo7 3346
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3350
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), ...
exo7 3353
Un idéal à gauche de \(\mathcal{L}(E)\) est un sev \({\cal I}\) de ...
exo7 3354
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\) et ...
exo7 3356
Soit \(f\) un endomorphisme donné de \(E\) de dimension ...
exo7 3421
Soient \(f_1, \dots, f_n\), \(n\) formes linéaires indépendantes sur un ev ...
exo7 3573
Soit \(E\) un ev réel de dimension finie et \(f,g\in \mathcal{L}(E)\), ...
exo7 3630
Soit \(E = \R_3[X]\). On considère les formes linéaires : ...
exo7 3637
Montrer l’existence et l’unicité d’une forme linéaire \(\Phi\) sur \(\R_n[X]\) te ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3644
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3649
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3650
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie \(n\), ...
exo7 3651
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie.
exo7 3657
Soit \(E\) un \(K\)-ev, \(E_1,\dots,E_n\) des se ...
exo7 3693
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n>1\). Trouver toutes les foncti ...
exo7 3698
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et ...
exo7 3700
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Trouver les applications ...
exo7 4196
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(E\) espace euclidien et ...
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 4807
Soient \(x_1,\dots,x_n \in \R\) distincts. À ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 5170
Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^2\) ...
exo7 5181
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et soit ...
exo7 5191
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5582
Soient \(E\) un espace de dimension finie et \(F\) et ...
exo7 5592
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace de dimension finie ...
exo7 5598
Soient \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie et ...