Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
e) Formes linéaires et hyperplans
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Forme linéaire. | Formes coordonnées relativement à une base. |
Hyperplan, défini comme noyau d’une forme linéaire non nulle. Si $H$ est un hyperplan de $E$ et $D$ une droite non contenue dans $H$, alors $E = H \oplus D$. | Équations d’un hyperplan dans une base en dimension finie. |
Réciproquement, tout supplémentaire d’une droite est un hyperplan. Comparaison de deux équations d’un même hyperplan. | En dimension $n$, les hyperplans sont exactement les sous-espaces de dimension $n - 1$. |
Si $E$ est un espace de dimension finie $n$, l’intersection de $m$ hyperplans est de dimension au moins $n - m$. Réciproquement, tout sous-espace de $E$ de dimension $n - m$ est l’intersection de $m$ hyperplans. | Système d’équations d’un sous-espace vectoriel ; cas des droites vectorielles de $\mathbb{R}^2$, des droites et plans vectoriels de $\mathbb{R}^3$. L’étude de la dualité est hors programme. |
exo7 1023
Montrer qu’il existe une unique forme linéaire \(f\) sur \(\Rr^2\) telle que ...
exo7 1032
Soient \(H_{1}\) et \(H_{2}\) deux hyperplans de ...
exo7 1105
Soit \(E = \text{vect} (AB-BA, (A, B)\in M_n (\Qq)^2)\).
exo7 1113
Dans \(\R^{3}\) muni de sa base canonique, on considère les applications ...
exo7 1519
On considère l’application suivante : ...
exo7 1960
On considère le triangle \(ABC\) dont les côtés ont pour équations ...
exo7 2027
Soit deux plans ...
exo7 2431
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes linéaires sur \(C^\infty(\R)\) : ...
exo7 3313
Soit \(E\) un \(K\)-ev et \(f : E \to { K}\) une ...
exo7 3320
Dans \(K^3\), on donne les sous espaces : ...
exo7 3347
Soit \(E\) un ev de dimension 3 et \(u\in \mathcal{L}(E)\) tel que ...
exo7 3348
Soit \(E\) un ev de dimension supérieure ou égale à 3 et ...
exo7 3375
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) non nulle. Montrer que l’application ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3634
Soient \(f_1,\dots,f_n\) des formes linéaires sur \(K^n\) telles qu’il existe ...
exo7 3637
Montrer l’existence et l’unicité d’une forme linéaire \(\Phi\) sur \(\R_n[X]\) te ...
exo7 3643
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3646
Soit \(E\) un \(K\)-ev de dimension finie et ...
exo7 3647
Soit \(E\) un \(K\)-ev. On suppose qu’il existe ...
exo7 3684
Soient \(f_1, \dots, f_p\) \(p\) formes linéaires sur ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3826
Soit \(E\) un espace préhilbertien réel et \(B\) une boule ouverte de ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 4196
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(E\) espace euclidien et ...
exo7 4818
Soit \(E\) un \(\R\)-evn et \(f \in E^*\).
exo7 4826
Soit \(E\) un evn réel et \(H\) un hyperplan de ...
exo7 4862
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4863
Soit \(\cal E\) un espace affine de dimension 3, et \(D,D',D''\) troi ...
exo7 5165
On munit \(\Rr^n\) des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants ...
exo7 5184
Soit \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), \(E\) un ...
exo7 5208
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites sécantes d’équation respectives ...
exo7 5270
Montrer que tout hyperplan de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) \((n\geq 2)\) contient au mo ...
exo7 5361
Dans \(E=\Rr^n\), on considère l’hyperplan \(H\) d’équation ...
exo7 5507
Dans \(\Rr^3\) affine, déterminer le réel \(a\) pour que les droites ...
exo7 5508
Dans \(\Rr^3\), équation du plan \(P\) parallèle à la droite ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5578
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension ...
exo7 5597
Montrer que tout hyperplan de \(M_n(\Rr)\) contient des matrices inversibles.
exo7 5619
Soit \(f\) une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\Cc)\) telle que ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5632
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5633
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5837
Trouver les plans tangents à la surface \((\mathcal{S})\) d’équation \(x-8yz=0\) ...
exo7 7417
Deux plans de l’espace affine \(\Rr^3\) peuvent-ils avoir un unique point d’intersection ?
exo7 7437
Dans l’espace affine \(E=\Rr^3_{aff}\), on considère un endomorphisme affine ...
exo7 969
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). Un hyperplan ...
exo7 991
On désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Les p ...
Reconnaître une bande du plan
Un point \((x,y)\) reçoit l’étiquette \(1\) si les deux mesures ...