Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
Dénombrement
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Cette section est introduite essentiellement en vue de son utilisation en probabilités ; rattaché aux mathématiques discrètes, le dénombrement interagit également avec l’algèbre et l’informatique.
Toute formalisation excessive est exclue. En particulier :
- parmi les propriétés du paragraphe a), les plus intuitives sont admises sans démonstration ;
- l’utilisation de bijections dans les problèmes de dénombrement n’est pas un attendu du programme.
Calcul de probabilité
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note \(a, b\) et \(c\) les résultats succe ...
exo7 129
Soit \(A= \{a_1, a_2, a_3, a_4\}\) et \(B= \{b_1, b_2, b_3, b_4 ,b_5\}\). Écrire ...
exo7 130
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments. Quel est le nombre d’éléments de ...
exo7 1318
Soient \((G, \star)\) et \((H, \triangle)\) deux groupes. On définit sur ...
exo7 1392
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) ( ...
exo7 1412
Rappeler \(\vert S_3\vert .\) Montrer que \(S_3\) ne contient pas d’élément d’o ...
exo7 2101
On dispose d’un échiquier et de dominos. Les dominos sont posés sur l’échiquier soit horizontalement, soit verticalement de façon à couvrir deux ca ...
exo7 2105
Soit \(n\) et \(p\) deux entiers, \(p\leq n\). D ...
exo7 2115
Soit \(G\) un groupe d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément \(x\in G\), ...
exo7 221
Démontrer que \(C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p\) (pour \(0\le k \le p \le n\)). En ...
exo7 223
Démontrer que \(C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}\) pour \(1\le p \le n-1\).
exo7 230
Démontrer les formules suivantes :
exo7 231
Soient \(E\) un ensemble non vide et \(X ,Y\) une partition de ...
exo7 232
Soit \(E\) un ensemble, \(a \in E\) et ...
exo7 236
Pour \(A,B\) deux ensembles de \(E\) on note ...
exo7 237
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments, et ...
exo7 238
Déterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec \(6\) voyelles et ...
exo7 239
On considère les mains de \(5\) cartes que l’on peut extraire d’un jeu de \(52\) ...
exo7 240
Soient \(A,A' ,B ,B'\) quatre ensembles tels que : ...
exo7 241
Soient \(A\) et \(B\) deux sous ensembles finis d’un ensemble ...
exo7 242
Soient \(1 \leq k \leq n\). Déterminer le nombre de \(k\)-uplets ...
exo7 243
(principe des bergers) Soient \(E ,F\) deux ensembles avec ...
exo7 244
Montrer par récurrence sur \(n\) que si ...
exo7 245
Soit \(p_{n}(k)\) le nombre de permutations de \(\{1,...,n\}\) ayant ...
exo7 246
Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(nm\in \Nn^{*}\), où ...
exo7 247
L’histoire: \(n\) personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le tas f ...
exo7 248
Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(n, \Re\) une relation d’équivalence sur ...
exo7 2667
Soit \(n\in\N^*\). Calculer la somme des nombres d’inversions de toutes les permutations de ...
exo7 275
Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de \(3^{500}\).
exo7 2903
Soit \(E\) un ensemble fini de cardinal \(n\). Calculer ...
exo7 2905
Soient \(n,p \in \N\). On note \(\Gamma_n^p\) le nombre de ...
exo7 2909
Soient \(a,b,c \in \N\). Démontrer que ...
exo7 2912
Combien y a-t-il de bijections \(f\) de \(\{1,\dots,12\}\) dans lui-mê ...
exo7 2913
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de \(2n\) personnes, \(n\) homm ...
exo7 2914
Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble à \(n\) élé ...
exo7 2915
Soient \(A_1, \dots, A_n\) \(n\) ensembles finis.
exo7 2916
Soient \(A_1, \dots, A_n\) \(n\) ensembles finis, et ...
exo7 2917
Soit \(E\) un ensemble fini à \(n\) élémen ...
exo7 2918
Quel est le nombre de parties à \(p\) éléments de ...
exo7 2919
Soit \(R_n\) le nombre de relations d’équivalence sur un ensemble à ...
exo7 2920
Soient \(E,F\), deux ensembles non vides. On définit deux relations sur ...
exo7 2921
Soit \(E\) un ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide possède un plus grand e ...
exo7 2923
Soient \(x_1,\dots,x_n\) \(n\) réels. Pour calculer la somme ...
exo7 2971
Soit \(E\) un ensemble fini muni d’une opération interne \(*\) assoc ...
exo7 2976
Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de ...
exo7 2986
Soit \(G\) un groupe n’ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que \(G\) es ...
exo7 2988
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu’il existe un élément d’ordre 2. ...
exo7 2990
Soit \(G\) un groupe fini tel que : \(\forall\ x \in G,\ x^2 = e\).
exo7 2994
Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de ...
exo7 3000
Soit \(f: G \to {G'}\) un morphisme de groupes où \(G\) est un g ...