Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
d) Fonctions de classe $\mathscr{C}^k$
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Pour $k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, fonction de classe $\mathscr{C}^k$. | |
Opérations sur les fonctions de classe $\mathscr{C}^k$ : combinaison linéaire, produit (formule de Leibniz), quotient, composition, réciproque. | Les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles. |
exo7 1222
Pour tout \(x \in ] 1, +\infty [\) on pose \(f (x) =x \ln (x) -x .\) Montrer que ...
exo7 1223
Étudier la continuité, la dérivabilité, la continuité de la dérivée pour les applications suivantes :
exo7 1852
On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: ...
exo7 1955
Soit \(f: \Rr \rightarrow \Rr\) l’application ...
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3950
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
exo7 3951
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 3952
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\), ...
exo7 3961
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Démontrer que : ...
exo7 3965
Établir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions :
\(f : x \mapsto \arctan x\) ...
exo7 3970
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 3971
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle ...
exo7 3972
Soit \(f : \R \to \R\) ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 4031
Soit \(f : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). On pose ...
exo7 4036
Soit \(f : \R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que : ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4090
Soit \(f : \R \to\R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4105
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) de ...
exo7 4125
Existe-t-il une fonction \(f : (y,t) \to f(y,t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et ...
exo7 4151
Soient \({f,g} : {\R^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^n\). Calculer ...
exo7 4173
Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^2\) contenant ...
exo7 4308
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4348
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et ...
exo7 4407
Soit \(f : \R \to {\C^*}\) telle que : \(\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)\). ...
exo7 4530
Soit \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}\).
exo7 4562
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur ...
exo7 4590
Soit \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}\). Montrer que \(f\) est de classe ...
exo7 4592
Soit \((a_n)\) une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction ...
exo7 4654
Soit \(R\) une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n’ayant pas de pôle da ...
exo7 4769
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : {[0,1]} \to \R\) de classe ...
exo7 4855
Soit \({\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}\) une fonction de classe ...
exo7 5413
Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée \(n\)-ème de la fonction proposée :
...
exo7 5414
Montrer que la fonction définie sur \(\Rr\) par \(f(x)=e^{-1/x^2}\) si ...
exo7 6805
Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr^2\) définie par \(f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)\). On défini ...
exo7 703
Étant données \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables à l’ordre ...
exo7 708
Soit ...
exo7 709
Soit \(f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})\) si \(x \neq 0\) et ...
exo7 711
Soit \(f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}\) définie par : ...
exo7 731
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) telle que ...