On cherche les fonctions \(f:\R^2\rightarrow \R\) telles que: \[\begin{equation}\label{truc} \frac{\partial f}{\partial u} (u,v) +2u \frac{\partial f}{\partial v} (u,v)=0 \qquad \text{pour tout $(u,v)\in\R^2$}. \end{equation}\] Soit \(\phi:\R^2\rightarrow\R^2\) l’application définie par \(\phi(x,y)=(x,y+x^2)\).
1
En calculant l’application réciproque, montrer que \(\phi\) est bijective. Vérifier que \(\phi\) et \(\phi^{-1}\) sont de classe \(\mathcal C^1\).
2
Soit \(f:\R^2\rightarrow \R\) une fonction de classe \(\mathcal C^1\). Posons \(g=f\circ \phi\).
3
Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal C^1\).
4
Montrer que \(f\) est solution de ([truc]) si et seulement si \(\frac{\partial g}{\partial x}=0\).