Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle et on développe l’étude des fonctions convexes amorcée en terminale. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A, +\infty[$ si $a = +\infty$, avec un intervalle $]-\infty, A[$ si $a = -\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 2084
Les fonctions suivantes sont-elles intégrables au sens de Riemann?
exo7 2085
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction continue sur \([a,b]\) ( ...
exo7 2086
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) continue, positive; on pose ...
exo7 2087
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\R}\) une application strictement croissante telle que ...
exo7 2099
Calculer l’aire de la région délimitée par les courbes d’équation \(\displaystyle y=\frac{x^2}2\) et ...
exo7 2315
Soit \(f\) une fonction continue définie sur un intervalle borné ...
exo7 2317
Soit \(f : [0,1]\to \Rr\) une fonction continue.
exo7 2328
Soient \(a \neq 0\) un réel, et \(y>x>0\).
exo7 2329
Soit \(x>0\) un réel. Calculer les valeurs de ...
exo7 2330
Fonction Gamma - Pour tout \(x>0\), on pose ...
exo7 2337
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left[0,1\right[\) par ...
exo7 2357
Montrer que \(f\) est continue si et seulement si ...
exo7 2358
Soit \(f\) une fonction réelle continue sur \([0,1]\); montrer que ...
exo7 2359
Soit \(f\) une fonction continue de \(]0,1[\) dans ...
exo7 2426
On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et ...
exo7 2427
On note \(\R^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets ...
exo7 2432
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des endomorphismes de \(C^\infty(\R)\) ( ...
exo7 2505
Soit \(g:{\Rr}\to{\Rr}\) une application de classe \(C^2\) et ...
exo7 2518
Soit \(f\) une application réelle continue et dérivable sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 2519
Montrer que l’identité des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant ...
exo7 2558
On considère l’équation \[x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)\] avec condition initiale ...
exo7 2621
Pour chacune des suites \((u_n)_n\) dans le plan \(\R^2\) ci-dessous, placer quel ...
exo7 2650
Soit \(f:\R^2\to\R\) définie par ...
exo7 2688
Soit \(f:[a,+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(C^1\), telle que
...
exo7 2689
Montrer que \[\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,\] ...
exo7 2696
On dispose d’un oscilloscope à deux voies. On applique sur la voie X une tension sinusoı̈dale de pulsation ...
exo7 2703
Soit l’arc paramétré défini par \[x = {t-\sin t \over t^2}, \quad y = {1-\cos t \over t^2}.\] Montrer qu’il peut ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 3184
Soit \(P \in {\R[X]}\) tel que : \(\forall\ x \in \R\), on a ...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3191
Montrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation \(\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1\) est une r ...
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3245
Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...
exo7 3290
Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...
exo7 3453
Soient \({a,b,c,d} : \R \to \R\) des fonctions dérivables et ...
exo7 3521
Soit \(E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)\) et ...
exo7 3806
Soient \(A,B\) des matrices de \(\mathcal{M}_n(\R)\) symétriques et ...
exo7 3837
Soit \(D\) le disque unité fermé de \(\R^2\). On considère l’espace ...
exo7 3840
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire usuel et, pour ...
exo7 3845
Soit \(f : \R \to \R\) et \(T > 0\). On suppose que ...
exo7 3846
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) une fonction continue ayant une limite finie en ...
exo7 3847
Pour \(x \in {[0,1[}\), on note \(x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}\) le dév ...
exo7 3848
Soit \(f : \R \to \R\) continue telle que ...
exo7 3849
Soient \({f,g} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions continues. On pose pour ...
exo7 3850
Soient \({f,g} : \R \to \R\) continues telles que : ...
exo7 3851
Soit \(f : \R \to \R\) uniformément continue. On pose ...
exo7 3852
Soient \({f,g}: {[a,b]}\to \R\) continues. On pose ...
exo7 3853
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) continue. Montrer que ...
exo7 3854
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues. On suppose que : ...