Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 2
a) Généralités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Groupe des permutations de l’ensemble $\{1, \dots, n\}$. | Notation $S_n$. |
Cycle, transposition. | Notation $(a_1\ a_2\ \dots\ a_p)$. |
Décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints : existence, unicité, commutativité. | La démonstration n’est pas exigible, mais les étudiants doivent savoir décomposer une permutation. |
exo7 3359
Soit
...
exo7 3449
Soit un déterminant symétrique réel d’ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs. Montrer que ce déterminan ...
exo7 5353
Soit \(\sigma\) l’élément de \(S_{12}\) : ...
exo7 5354
Démontrer que \(S_n\) est engendré par ...
exo7 5355
Démontrer que \(A_n\) est engendré par les cycles de longueur \(3\) (pour ...
exo7 5356
Démontrer que \(S_n\) est engendré par \(\tau_{1,2}\) et le cycle ...
exo7 5357
Soit \((G,\times)\) un groupe. Montrer que \((G,\times)\) est isomorphe à un sous ...
exo7 5358
Soit \(\sigma\) une permutation de \(\{1,...,n\}\) et ...
exo7 5359
\(\sigma\) étant une permutation de \(\{1,...,n\}\) donnée, on définit la matrice ...
exo7 5669
Pour \(\sigma\in S_n\), \(n\geqslant 2\), on définit la matrice ...
exo7 5795
Déterminer \(\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))\).
exo7 6450
Trouver une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes :
exo7 6451
Déterminer la signature des permutations :
exo7 6452
Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations suivantes ...
exo7 6453
Ecriver les produits suivants comme produits de cycles disjoints. ...
exo7 6454
Vérifier que pour tout cycle \((i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2\), dans \(S_n\) et ...
exo7 6455
Dans le groupe symétrique \(S_4\) trouver les sous-groupes suivants
exo7 6456
Trouver l’ordre des permutations suivantes \[(abcdef)(ghij)(klm)\; ;\; \; \; \; (123456)(1234)(123)\, .\]
exo7 6465
Montrer que les seuls groupes distingués de \(S_5\) sont ...
exo7 6469
Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe d’indice ...
exo7 6471
Prouver que les permutations ...
exo7 6480
Soit \(\phi\) un automorphisme de \(S_n\). Montrer que si ...
exo7 7159
Soit \(\mathcal T=ABC\) un triangle équilatéral et \(G=Isom(\mathcal T)\) son gro ...
exo7 7355
Montrer que les deux permutations \(\tau=(1,2)\) et \(c=(1,2,3)\) engendrent le g ...
exo7 7356
Donner la liste des permutations du groupe symétrique \(\mathcal{S}_4\).
exo7 7360
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7364
Dans le groupe \(\mathcal{S}_7\) des permutations de l’ensemble fini ...
exo7 7366
Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...
exo7 7369
Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...
exo7 7373
Voici la table d’un groupe \(G\). Quel est l’ordre de \(G\) ? Le groupe ...
exo7 7374
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7375
Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?
exo7 7380
Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?
exo7 7396
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7406
Calculer les produits dans \(\mathcal{S}_7\), \((1,2)(1,3)\) et ...
exo7 7408
Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation ...
exo7 7730
Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_5\) a-t-il un élément d’ordre \(6\) ?
exo7 7764
Montrer qu’un groupe d’ordre \(p^3q\) (avec \(p\) premier et ...
exo7 7765
On considère l’élément de \(\mathcal{S}_8\) : ...
exo7 7766
Si \(c\) est le cycle \((1,2,3,4,5,6)\), \(c^2\) ...
exo7 7770
Soit \(G\) le sous-groupe de \(\mathcal{S}_7\) engendré par ...
exo7 7842
Combien le groupe \(\mathcal{A}_5\) a-t-il d’éléments d’ordre \(3\) ?
exo7 7872
Soit \(n\) un entier naturel supérieur à \(3\), ...
exo7 7873
Soint \(n\) un entier naturel supérieur à \(3\).
exo7 7874
Le groupe \(\mathcal{S}_n\) est-il simple ?
exo7 7898
Soit \(D_8\) le groupe des isométries du carré. Déterminer un morphisme injectif de groupes de ...
Matrices de permutation et signature
Une matrice de permutation est une matrice carrée qui contient exactement un \(1\) par ligne et un ...