Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique du corps $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 2451
Soit \(A = (a_{i,j})\) une matrice complexe dont les coefficients vérifient ...
exo7 2470
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal M_n(\C)\) ; on suppose qu’il existe un entie ...
exo7 25
Montrer algébriquement et géométriquement que si \(\left|z\right| = 1\) alors ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 26
Résoudre l’équation \(\exp (z) = \sqrt{3} + 3i\).
exo7 264
Montrer que si \(r\) et \(s\) sont deux nombres entiers naturels somme de deux ca ...
exo7 27
Calculer les racines carrées de \(1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,\) et \(7+24i\).
exo7 2729
Montrer que les ensembles \(G\) suivants, munis des lois \(\star\) données, sont ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...
exo7 28
Trouver les racines carrées de \(3-4i\) et de \(24-10i\).
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 2877
On suppose \(\sum_{n\geq1} |u_n|^2 < \infty\). Montrer que les deux séries ...
exo7 2878
Montrer que \(\prod_{k=1}^\infty (1 + \frac ik)\) diverge tandis que ...
exo7 29
Calculer les racines carrées de \(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\). En déduire les valeurs de ...
exo7 2924
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v| + |u-v| \ge |u| + |v|\), et dé ...
exo7 2925
Montrer que toute droite du plan admet pour équation complexe : \(az + \overline{az} = b\) avec ...
exo7 2926
Soit \(f : {\C\setminus\{i\}} \to {\C\setminus\{1\}}, z \mapsto {\frac {z+i}{z-i}}\)
exo7 2927
Soient \(a,b \in \mathbb{U}\) distincts et \(z \in \C\). On note ...
exo7 2928
Soient \(a,b,c \in \C\) distincts. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
exo7 2929
Soient \(a,b,c,d \in \C\) tels que ...
exo7 2930
Déterminer les nombres \(z \in \C\) tels que \(\dots\)
exo7 2931
Trouver \(a,b,c \in \mathbb{U}\) tels que ...
exo7 2932
Soient \(u,v,w\) trois complexes unitaires tels que \(u+v+w = 0\). Montrer que ...
exo7 2933
Trouver les complexes \(z \in \C^*\) tels que \(\left|z + \frac 1z\right| = 2\). ...
exo7 2935
Soient \(a,b,c,d \in \C\) deux à deux distincts. Montrer que si deux des rapports ...
exo7 2936
On donne un triangle \(ABC\), un réel positif \(k\) et un angle ...
exo7 2937
Soient \(a,b,c \in \C\), affixes de points \(A,B,C\) non alignés. Ca ...
exo7 2938
Soient \(u,v \in \C\) tels que \(u+v \ne 0\). On pose ...
exo7 2939
Résoudre :
exo7 2940
Soit \(\omega = \exp\frac {2i\pi}n\). Calculer :
exo7 2941
Soient \(n,p \in \N^*\) et \(\mathbb{U}_n\) le groupe des racines ...
exo7 2942
Soient \(n \in \N^*\), \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et ...
exo7 2943
Soit \(z = \exp\frac {2i\pi}7\) et \(u = z + z^2 + z^4\), ...
exo7 2944
Simplifier \(x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}\) en utilisant \(1,j,j^2\). ...
exo7 2945
Soit \(z \in \C\) et \(p,q\) ses racines carrées. A quelle condition ...
exo7 2946
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0\).
exo7 2947
Résoudre dans \(\C\) : \(z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0\).
exo7 2948
Comment faut-il choisir \(m \in \C\) pour que l’équation : ...
exo7 2949
Soient \(u,v \in \C\). Vérifier que ...
exo7 2950
Soient \(u,v \in \C\). Montrer que \(|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2\).
exo7 2951
A l’aide de formules du binôme, simplifier :
exo7 2952
Simplifier :
exo7 2953
Soit \(a \in \R\). Résoudre : ...
exo7 2954
Soit \(\theta \in \R\).
exo7 2956
Résoudre en \(x\) : ...
exo7 2958
Soit \(n \in \N\), et \(x \in \R\). Exprimer ...
exo7 2959
Soit \(z \in \mathbb{U}\). Peut-on trouver \(a \in \R\) tel que ...
exo7 2982
Déterminer tous les sous-groupes finis de \((\C^*,\times)\).
exo7 2999
Soit \(p\) un entier naturel premier. On appelle \(G\) l’ensemble des ...
exo7 3
Écrire sous la forme \(a+ib\) les nombres complexes suivants :