Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres complexes
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L’objectif de cette section, que l’on illustrera par de nombreuses figures, est de donner une solide pratique des nombres complexes, à travers les aspects suivants :
- l’étude algébrique du corps $\mathbb{C}$ et la notion d’équation algébrique ;
- l’interprétation géométrique des nombres complexes et l’utilisation des nombres complexes en géométrie plane ;
- l’exponentielle complexe et ses applications à la trigonométrie.
- a) Nombres complexes 58
- b) Conjugaison et module 88
- c) Nombres complexes de module 1 et trigonométrie 82
- d) Forme trigonométrique 55
- e) Équations algébriques 71
- f) Racines $n$-ièmes 102
- g) Exponentielle complexe 29
- h) Interprétation géométrique des nombres complexes 62
exo7 7151
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u, \vec v)\). On note ...
exo7 7163
Soit \(ABC\) un triangle. Montrer qu’il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant ...
exo7 7164
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral direct, et \(M\) un point. On note ...
exo7 7166
Soit \(M_1M_2M_3M_4\) un parallélogramme direct du plan, de centre \(O\), et ...
exo7 719
Étant donné \(y\) un réel positif et \(n\) un entier naturel pair, montrer que ...
exo7 7194
(Coordonnées polaires) Soit \(\sim\) la relation d’équivalence la plus fine sur ...
exo7 7197
Soit \(f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}\), et soit \(\mathcal R\) la relation ...
exo7 72
Soit \(s=(1-z)(1-iz)\).
exo7 7209
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(z^2+\overline{z}-1=0\).
exo7 7210
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(4z^2+8\lvert z\rvert -3=0\).
exo7 7211
Résoudre sur \(\C\) l’équation \(iz^2-2\bar{z}+2-i=0\).
exo7 7212
Résoudre sur \(\C\) l’équation \[iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0,\] sachant qu’elle ...
exo7 7213
Soit \(a\in\C\). Résoudre sur \(\C\) l’équation ...
exo7 7257
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation \(\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7281
Étant donnés quatre points \(A\), \(B\), \(C\), ...
exo7 73
Soit \(A\) un point du plan d’affixe \(\alpha = a+ib\). Déterminer l’ensemble des ...
exo7 7313
Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7378
Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l’unité d’ordre \(8\). Soit ...
exo7 74
Déterminer les nombres complexes \(z\) tels que le triangle ayant pour sommets les points d’affixes ...
exo7 747
Écrire sous forme d’expression algébrique
exo7 75
Déterminer les nombres complexes \(z\in \Cc^{*}\) tels que les points d’affixes ...
exo7 7518
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe non nul. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse de ...
exo7 7519
Soit \(z\) et \(w\) deux nombres complexes. Démontrer que ...
exo7 7520
Soit \(\theta\) et \(\theta'\) deux nombres réels. En utilisant les formules ...
exo7 7521
Déterminer les racines carrées et les racines cubiques de \(i\).
exo7 7548
On définit \(\cosh z\) comme la somme de la série \(\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}\) e ...
exo7 7549
Trouver la valeur minimale de \(\vert f(z) \vert\) où \(f(z) = e^{z^{2}}\) sur le ...
exo7 7553
On rappelle que pour tout entier naturel \(n\), et tout nombre complexe \(z\), ...
exo7 757
Soit \(f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}\) définie par: ...
exo7 7585
Résoudre dans \(\Cc\), l’équation \(z^6+2z^3-3=0\).
exo7 7597
Trouver toutes les solutions complexes de l’équation \(\cosh(z)=4i\).
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 76
Résoudre dans \(\Cc\) le système: ...
exo7 7607
On paramètre le cercle \(C_r\) privé du point \({-r}\) de centre ...
exo7 7612
Soit \(c\in \Cc\). Montrer que si \(z\in\Cc\), alors ...
exo7 7618
Soit \(a\) un nombre complexe de module strictement inférieur à \(1\). Montrer qu ...
exo7 77
Soit \((A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})\) un pentagone régulier. On note \(O\) son ...
exo7 78
On rappelle la formule (\(\theta\in\mathbb{R}\)) : ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 79
Calculer \(\cos 5\theta\), \(\cos 8\theta\), ...
exo7 8
Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
exo7 80
En utilisant les nombres complexes, calculer \(\cos 5\theta\) et \(\sin5\theta\) ...
exo7 81
Soit \(\theta \in \Rr\). A l’aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de ...
exo7 82
Exprimer \((\cos 5x) (\sin 3x)\) en fonction de \(\sin x\) et ...
exo7 83
Soit \(x\) un nombre réel. On note ...
exo7 861
On considère l’équation homogène \((E) \ \ ay''+by'+cy=0\), avec ...
exo7 866
On considère l’équation : \[y^{\prime\prime} + 2y^\prime + 4y = xe^x \qquad (E)\]
exo7 87
Etudier le signe de la fonction donnée par \(f(x)=\cos 3x+\cos 5x.\)