Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
Nombres réels et suites numériques
Rechercher dans cette partie du programmeTexte officiel du programme
L’objectif de cette section est de donner une base solide à l’étude des suites réelles. On insiste sur le caractère fondamental de la propriété de la borne supérieure.
Dans l’étude des suites, on distingue nettement les aspects qualitatifs (monotonie, convergence, divergence) des aspects quantitatifs (majoration, encadrement, vitesse de convergence ou de divergence).
- a) Ensembles de nombres usuels 142
- b) Propriété de la borne supérieure 74
- c) Généralités sur les suites réelles 112
- d) Limite d’une suite réelle 324
- e) Suites monotones 64
- f) Suites extraites 34
- g) Traduction séquentielle de certaines propriétés 27
- h) Suites complexes 11
- i) Suites particulières 126
exo7 263
On définit les trois ensembles suivants : ...
exo7 2649
On considère une suite \((u_n)_n\), de terme général \(u_n\in\R^2\).
exo7 265
Soit \(n\) un entier relatif. Montrer que soit \(8\) divise ...
exo7 266
Étant donnés deux nombres relatifs \(n\) et \(p\) montrer que soit ...
exo7 267
Montrer que si \(n\) est un entier naturel somme de deux carrés d’entiers alors le reste de la division euclidienn ...
exo7 268
Soit \(n\) un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut ...
exo7 269
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Montrer que parmi les trois entiers \(n.(n+1)\), ...
exo7 2698
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté unité et \(T_0\) son intérieur. On c ...
exo7 270
Pour tout couple de nombres réels \((x,y)\) montrer, par récurrence, que pour tout ...
exo7 2721
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 \in ]0,1[\) donné et ...
exo7 276
Trouver les entiers positifs \(n\) tels que \(n-1\) divise ...
exo7 277
Montrer que pour chaque \(n \in \mathbb{N}\), \(4\) ne divise pas ...
exo7 282
Déterminer les entiers \(n \in \Nn\) tels que :
exo7 283
Soit \(k \in \Zz\). Déterminer les entiers \(n \in \Nn^*\) tels que ...
exo7 284
Montrer que \(\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*\) il existe un unique ...
exo7 285
Montrer que le reste de la division euclidienne par \(8\) du carré de tout nombre impair est ...
exo7 286
Montrer qu’il est équivalent dans \(\mathbb{Z}\) de dire \(m\) divise ...
exo7 2871
Soit \(u_n\), \(n\geq1\) des nombres complexes. Montrer: ...
exo7 290
Calculer le pgcd des nombres suivants :
exo7 291
Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.
exo7 292
Déterminer les couples d’entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
exo7 295
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers tels que ...
exo7 296
Calculer par l’algorithme d’Euclide : \(\pgcd(18480,9828)\). En déduire une écriture de ...
exo7 297
Déterminer le pgcd de \(99\,099\) et \(43\,928\). Déterminer le pgcd de ...
exo7 299
Calculer, en précisant la méthode suivie, \[a=\text{pgcd} (720,252) \quad\quad b = \text{ppcm} (720,252)\] ainsi ...
exo7 301
Démontrer pour \(m,n \in \Nn^*\) : ...
exo7 302
Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, \(1008\), et leur pgcd, ...
exo7 303
Notons \(a=1\;111\;111\;111\) et \(b=123\;456\;789\).
exo7 3038
Soit \(f : {\R^2} \to {\R}\) une fonction bornée. On définit les fonctions : ...
exo7 304
Soient \(m\) et \(n\) deux entiers ...
exo7 3040
Pour \(A \subset \R\) non vide et bornée, et \(x \in \R\), on note : ...
exo7 3041
Soient \(A,B \subset \R\) vérifiant : ...
exo7 3048
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) croissante. On note \(A = \{ x \in {[0,1]}\) tq ...
exo7 3057
On note \(a_n = 25^n + 2^{3n+4}\).
exo7 306
Montrer qu’il n’existe pas d’entiers \(m\) et \(n\) tels que ...
exo7 3060
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) telle que : ...
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3062
Soit \(A \subset \R\) vérifiant : ...
exo7 3063
Soir \(A\) un sous-anneau de \(\R\). Montrer que ...
exo7 3064
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\R\), ...
exo7 3066
Soit \(a \in \Q^+\) tel que \(\sqrt a \notin \Q\).
Montrer qu’il existe ...
exo7 3067
Soient \(a,b \in \Q^+\) tels que \(\sqrt b \notin \Q^+\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3068
Résoudre ...
exo7 3069
Résoudre : \[\begin{cases} u_{n+2} - u_n = n-1 \cr u_0 = u_1 = 0.\end{cases}\]
exo7 3070
On donne \(u_0,v_0\). Résoudre le système : ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3072
Soit \(T_n\) le nombre d’entiers naturels de \(n\) chiffres exactement ne comport ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3090
Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...
exo7 310
Trouver \(a\) et \(b\) entiers naturels tels que