Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
a) Ensembles de nombres usuels
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Entiers naturels, relatifs, nombres décimaux, rationnels, réels, irrationnels. | Les constructions des ensembles de nombres usuels (et en particulier celle de $\mathbb{R}$) sont hors programme. |
Approximations décimales d’un réel. | Valeurs décimales approchées à la précision $10^{-n}$ par défaut et par excès. |
Tout intervalle ouvert non vide rencontre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. Droite achevée $\overline{\mathbb{R}}$. |
exo7 3090
Soit \(n\in\N\), \(n\ge 2\). Montrer que si ...
exo7 310
Trouver \(a\) et \(b\) entiers naturels tels que
exo7 3101
Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est toujours divisible par 9.
exo7 3102
Montrer que : \(\forall\ n \in \Z\), \(n^2 + 3n + 5\) n’est pas divisible par 121 ...
exo7 3103
Montrer que pour tout entier \(n\in\Z\), \(n(2n+1)(7n+1)\) est divisible par 6. ...
exo7 3109
Infirmer ou justifier le critère de divisibilité par \(7\) suivant retrouvé ...
exo7 3111
Soient \(a,b\) entiers, \(d = a \wedge b\), ...
exo7 3114
Soit \(n \in \N\). Chercher \((15n^2+8n+6) \wedge (30n^2+21n+13)\).
exo7 3118
Résoudre : \(\begin{cases} x \vee y = 210(x \wedge y)\cr y-x = x \wedge y.\end{cases}\)
exo7 3119
Résoudre dans \(\Z\) : \(x \wedge y = x + y - 1\).
exo7 3120
Résoudre dans \(\Z^*\) : \(x \vee y = x + y - 1\).
exo7 313
Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) les équations : ...
exo7 3132
Soient \(a,b \in \N^*\) premiers entre eux tels que \(ab\) est un carré ...
exo7 3134
Montrer que la plus grande puissance de \(2\) divisant \(5^{(2^n)} - 1\) est ...
exo7 3135
On suppose que \(a^r-1\) est un nombre premier. Montrez que \(r\) est premier, pu ...
exo7 3136
On note \(M_n = 2^n - 1\) (\(n\)-ième nombre de Mersenne).
exo7 3137
Soient \(a,n \in \N\) tels que \(a \ge 2\), ...
exo7 3138
Pour \(n \in \N^*\), on note \(d_n\) le nombre de diviseurs positifs de ...
exo7 3141
Trouver 1000 entiers consécutifs non premiers.
exo7 3142
Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant \(1000\,!\) ?
exo7 3143
Soit \(n \in \N\), \(n \ge 2\). Montrer que ...
exo7 3144
Soit \(x=\frac pq \in \Q^*\) avec \(p,q\) entiers, ...
exo7 3147
Soit \(x\in\Q\), \(0<x<1\). On définit une suite ...
exo7 3148
Soient \(\frac ab < \frac cd\) deux rationnels avec \(a,c \in \Z\), et ...
exo7 3150
On cherche les couples \((x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2\) tels que \(x < y\) ...
exo7 321
Trouver deux nombres sachant que leur somme est \(581\) et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est ...
exo7 323
Le pgcd de deux nombres est \(12\) ; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l’algorithme d ...
exo7 324
Trouver les couples de nombres \(a\) et \(b\), divisibles par ...
exo7 325
Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres \(a\) et \(b\) sont des no ...
exo7 333
Résoudre dans \(\mathbb{N}\) et dans \(\mathbb{Z}\) l’équation ...
exo7 337
Démontrer que, si \(a\) et \(b\) sont des entiers premiers entre eux, il en est d ...
exo7 340
Soit \((x,y,z)\in \Nn^3\) . Montrer que : ...
exo7 341
Montrer par récurrence que \(\forall n\in \Nn ,\forall k\geqslant 1\) on a : ...
exo7 344
Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux.
exo7 345
Prouver que pour vérifier qu’un entier \(p\) est premier, il suffit de vérifier qu’il n’a pas de diviseurs inférie ...
exo7 347
Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers :
exo7 348
Soit \(X\) l’ensemble des nombres premiers de la forme \(4k + 3\) avec ...
exo7 349
Soit \(a\in \Nn\) tel que \(a^{n}+1\) soit premier, montrer que ...
exo7 350
Soit \(n\) un nombre premier et \(p\in \{1,...,n-1\},\) montrer que ...
exo7 352
Résoudre en nombres entiers naturels l’équation : \[(x+1)(y+2)=2xy.\]
exo7 353
Montrer que \((0,0,0)\) est le seul triplet \((x,y,z)\) d’entiers naturels tels q ...
exo7 4401
Pour \(n \in \N\) on pose ...
exo7 4489
Soit \((r_n)_{n\ge 1}\) une énumération des rationnels. On note ...
exo7 451
Démontrer que si \(r \in \Q\) et \(x \notin \Q\) alors ...
exo7 452
Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ?
\(a=1/3\),
...
exo7 454
Calculer avec une calculette : ...
exo7 455
On considère les nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\). Y a-t-il un nombre rationnel juste avant ...
exo7 456
Soient \(a\) et \(b\) deux rationnels positifs tels que ...
exo7 458
Trouver sous la forme \(\frac{p}{q}\) des rationnels \(x\) dont les dévelopements ...
exo7 459
Soit \(N_n = 0,1997\,1997\ldots 1997\) (\(n\) fois). Mettre ...