Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
d) Limite d’une suite réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Limite finie ou infinie d’une suite. Unicité de la limite. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. Notations $u_n \longrightarrow \ell$, $\lim u_n$. |
Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée. | |
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Passage à la limite d’une inégalité large. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell > 0$, alors $u_n > 0$ à partir d’un certain rang. | Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle. |
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$). | Utilisation d’une majoration de la forme $\lvert u_n - \ell\rvert \leqslant v_n$, où $(v_n)$ converge vers 0. |
exo7 4580
Vérifier que pour \(x\in{]0,+\infty[}\) on a : ...
exo7 4588
Soit \((u_n)\) définie par, pour tout \(n\in \N\), ...
exo7 4596
Soit \((c_n)\) le produit de Cauchy de la suite \((a_n)\) par la suite ...
exo7 4616
Soit \(f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence infini. Montrer l’équivalence e ...
exo7 465
Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : ...
exo7 4668
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergeant vers \(\ell \in \R\). La ...
exo7 4669
Comparer \(\lim_{n\to\infty} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k} \right)\) et ...
exo7 4670
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 4671
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites vérifiant : ...
exo7 4673
Montrer que l’ensemble des entiers \(n\) tels que \(2^{n^2} < (4n)!\) est fini ...
exo7 4674
Démontrer, sans utiliser la fonction \(\ln\), que ...
exo7 4675
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites strictement positives telles que : ...
exo7 4676
Soit \(x\in\R\). Chercher ...
exo7 4677
Soit \(\theta \in \R\). Montrer que si ...
exo7 4678
Soit \(u_n = 1 + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt n}\).
exo7 4680
On pose ...
exo7 4681
Soit \(a \in \C\setminus \mathbb{U}\). Étudier la suite de terme général : ...
exo7 4682
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On pose ...
exo7 4683
Soit \((b_n)\) une suite réelle strictement croissante tendant vers ...
exo7 4684
Soit \((u_n)\) une suite réelle convergente, et ...
exo7 4685
Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites convergeant vers ...
exo7 4686
Soit \((x_n)\) une suite réelle et \(\alpha \in\, ]0,1[\). On pose ...
exo7 4687
Soit \((x_n)\) une suite bornée telle que ...
exo7 4688
Soit \(x \in \R^*\) et \((r_n)\) une suite de rationnels convergeant vers ...
exo7 4689
Pour \(n \in \N^*\), on note \(S(n)\) la somme des chiffres de l’écr ...
exo7 4690
On considère l’équation : \(x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0\).
exo7 4691
Soit \((u_n)\) une suite réelle. On appelle valeur d’adhérence tou ...
exo7 4692
Soit \((x_n)\) une suite bornée de réels. On pose : ...
exo7 4693
Soit \((x_n)\) une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0.
exo7 4694
Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0. Montrer qu’il existe une b ...
exo7 4695
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...
exo7 4696
Soit \(f : {\N} \to {\N}\) injective. Montrer que ...
exo7 4697
Soit \(u_n = \sqrt{ n + \sqrt{ n-1 + \dots + \sqrt 1 }}\).
exo7 4698
Soit \((a_n)\) une suite de réels supérieurs ou égaux à ...
exo7 4702
Soit \(u_0\in\N^*\) et \((u_n)\) la suite définie par la relation de ...
exo7 4705
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que pour tout entier \(n\) : ...
exo7 4706
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots + \sqrt{1}}}\) (\(n\) radic ...
exo7 4707
On considère la suite \((u_n)\) définie par : ...
exo7 4708
On pose \(u_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{ \dots + \sqrt{n-1 +\sqrt n}}}}\) et ...
exo7 4709
Soient \(a,b \in \R^*\). On définit la suite \((u_n)\) par : ...
exo7 471
Soit \(E\) l’ensemble des réels de la forme \(\frac{n-1/n}{n + 1/n}\) avec ...
exo7 4710
Soient \(0 < x_0 < y_0\) et \((x_n)\), ...
exo7 4711
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4712
Étudier la convergence des suites \((x_n)\), \((y_n)\) dé ...
exo7 4714
Soient \(x,y,z \ge 0\). Montrer que \(x^3+y^3+z^3 - 3xyz \ge 0\) (mettre ...
exo7 4715
On considère la fonction \(f\) : ...
exo7 4717
Soit \(A\) une partie bornée de \(\R\) ayant un seul point d’accumul ...
exo7 472
Soit \(E=\{\frac{1}{n}\cos n \mid n \in\mathbb{N}^* \}\) ; calculer \(\inf E\) e ...
exo7 4722
Soit \((u_n)\) une suite réelle bornée telle que ...
exo7 4723
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) continue, \(u_0 \in {[0,1]}\) et ...