Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
d) Limite d’une suite réelle
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Limite finie ou infinie d’une suite. Unicité de la limite. | Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges. Notations $u_n \longrightarrow \ell$, $\lim u_n$. |
Suite convergente, divergente. Toute suite convergente est bornée. | |
Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient. Passage à la limite d’une inégalité large. Si $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell > 0$, alors $u_n > 0$ à partir d’un certain rang. | Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle. |
Existence d’une limite par encadrement (limite finie), par minoration (limite $+\infty$), par majoration (limite $-\infty$). | Utilisation d’une majoration de la forme $\lvert u_n - \ell\rvert \leqslant v_n$, où $(v_n)$ converge vers 0. |
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 684
En étudiant la suite \(u_0 \in \Rr\) et \(u_{n + 1} = \cos (u_n)\), déterminer u ...
exo7 7021
Définissons une suite par \(u_0=1\) et pour tout \(n \in\N\), ...
exo7 7022
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in\N}\) définie par \(u_0=2\) et pour tou ...
exo7 726
Étant donné \(\alpha\) dans \(]0,1[\), montrer que pour tout entier naturel ...
exo7 7260
Soit \(E\) un plan euclidien orienté, muni d’un repère ...
exo7 736
Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que ...
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 819
Soit \(I_{n} = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x}dx\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 839
Soit \(a_{n} = \int_0^1 t^n e^t dt\).
exo7 841
Calculer : ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 844
Calculer les limites suivantes :
exo7 926
Soit \[E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.\] Montrer que l’ensembl ...
Limites
Déterminer les limites des suites suivantes (sans utiliser les équivalents ou négligeabilités).
Limites d'un polynôme ou de fraction rationnelle
Déterminer la limite (si elle existe) de chacune des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un produit
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites d'un quotient
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Limites de somme
Déterminer la limite (si elle existe) des suites \((u_n)\) définies par
Monotonie et limite II
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}^{2}}{1+5u_{n}}\) et ...