Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
g) Traduction séquentielle de certaines propriétés
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Partie dense de $\mathbb{R}$. Caractérisation séquentielle de la densité. | Une partie de $\mathbb{R}$ est dense dans $\mathbb{R}$ si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide. Densité de l’ensemble des décimaux, des rationnels, des irrationnels. |
Si $X$ est une partie non vide majorée (resp. non majorée) de $\mathbb{R}$, il existe une suite d’éléments de $X$ de limite $\sup X$ (resp. $+\infty$). | Résultats analogues pour $X$ non vide minorée (resp. non minorée). |
exo7 1230
Soit \(f\) une fonction d’un intervalle \(I\) à valeurs dans ...
exo7 1327
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\Rr,+)\) avec ...
exo7 1781
Déterminer l’adhérence de chacune des parties de \(\R\) suivantes :
exo7 3061
Soit \(f : \R \to \R\) un morphisme de corps.
exo7 3062
Soit \(A \subset \R\) vérifiant : ...
exo7 3064
Soit \(H\) un sous-groupe additif de \(\R\), ...
exo7 4489
Soit \((r_n)_{n\ge 1}\) une énumération des rationnels. On note ...
exo7 455
On considère les nombres rationnels inférieurs à \(\sqrt{2}\). Y a-t-il un nombre rationnel juste avant ...
exo7 460
Montrer que l’ensemble \(\{r^3\ ;\ r\in \Q\}\) est dense dans \(\R\).
exo7 463
Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques : \[\left\{ \frac{a}{2^{k}},(a,k)\in \Zz\times \Nn\right\}\] est den ...
exo7 4718
Soit \(a \in \R\setminus \Q\) et ...
exo7 4719
Montrer que l’ensemble \(A = \{ \sqrt m - \sqrt n \text{ tq } m,n \in \N \}\) est dense dans ...
exo7 4725
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que ...
exo7 481
Si \(a= \sup A\), montrer qu’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge ...
exo7 500
Soit \(A\) une partie de \(\Rr\) vérifiant : ...
exo7 502
Soient \(A\) et \(B\) deux parties denses de ...
exo7 516
Montrer qu’une partie \(D\) est dense dans \(\Rr\) ssi tout réel est limite d’une ...
exo7 517
Soit \(A\) une partie bornée de \(\Rr\) et \(x\) ...
exo7 5218
Montrer que les sous groupes du groupe \((\Rr,+)\) sont soit de la forme \(a\Zz\) ...
exo7 5248
Montrer que l’ensemble \(E\) des réels de la forme \(u_n=\sin(\ln(n))\), ...
exo7 525
Soit \((u_{n})_{n\in \Nn}\) une suite réelle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que ...
exo7 573
Soit \(x\) un réel.
exo7 5843
Montrer qu’entre deux réels distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que \(\Qq\) est dense dans ...
exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 588
Soient \((u_{n})_{n\in \Nn}\) et \((v_{n})_{n\in \Nn}\) deux suites réelles telle ...
exo7 6067
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 6141
Montrer que \(\Qq\) n’est pas un \(G_\delta\) c’est-à-dire n’est pas intersection ...