Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
i) Suites particulières
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. | Pour une relation de récurrence $u_{n+1} = au_n + b$ où $a \in \mathbb{C} \setminus \{1\}$ et $b \in \mathbb{C}$, recherche d’une solution constante, détermination des solutions. |
Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2 à coefficients constants. | |
Présentation de l’étude des suites définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ sur quelques exemples simples. Représentation géométrique. Si $(u_n)$ converge vers un élément $\ell$ en lequel $f$ est continue, alors $f(\ell) = \ell$. | Cette étude est l’occasion d’introduire la notion d’intervalle stable par une fonction. Pour l’étude de la monotonie de $(u_n)$, on souligne l’intérêt, d’une part, de l’étude du signe de $f(x) - x$, et, d’autre part, de l’utilisation de la croissance éventuelle de $f$. |
Calculs
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\).
-
...
Effet du stride sur la taille et la résolution spatiale
On dispose d’une image \(6 \times 6\) et d’un noyau moyenneur \(3 \times 3\) (tou ...
Etude de point fixe
On s’intéresse au calcul de \(\ell\in[0;\pi]\) tel que ...
Exercice bilan I
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout ...
Exercice bilan I
Soit \((u_n)\) la suite définie pour tout entier naturel par \(u_0=2\) et ...
Exercice bilan II
On considère les suites \(u\) et \(v\) définies par ...
Exercice bilan II
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et pour tout entier ...
Exercice bilan III
On définit deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) par ...
Exercice bilan IV
Soit \(u\) la suite vérifiant la relation ...
exo7 1133
On s’intéresse aux suites réelles \((u_{n})_{n\in\N}\) satisfaisant la relation de récurrence ...
exo7 1193
Soient \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par ...
exo7 1202
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0\) et \(u_1\) st ...
exo7 1203
Déterminer \((u_n)\) telle que
exo7 1204
Déterminer les suites bornées qui vérifient \(u_{n + 2} = 3u_{n + 1}-2u_n\).
exo7 1205
Déterminer les suites convergentes qui vérifient \(2u_{n + 2} = 7u_{n + 1}-3u_n\).
exo7 1206
Montrer que la suite \(u_0 = 1\), \(u_1 = 2\) et ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 1212
Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans lui-même telle que ...
exo7 1229
Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de deg ...
exo7 164
On considère une suite \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) telle que : ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 1708
Déterminer toutes les suites \((u_{n})_{n\in\N}\) à valeur complexes telles que : ...
exo7 1723
Soit le \(\Rr\)-espace vectoriel ...
exo7 1724
Soient \((x_n)_{n \in \N } ,\) \((y_n)_{n \in \N }\) et ...
exo7 176
On définit une suite \((F_n)\) de la façon suivante : ...
exo7 1947
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux nombres réels ou complexes tels que ...
exo7 2334
On définit \[F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt\] et pour tout \(n \in \Nn\), o ...
exo7 2573
(7 points) On considère la suite \((u_n)_{n\in\N}\) définie par ...
exo7 2698
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté unité et \(T_0\) son intérieur. On c ...
exo7 3057
On note \(a_n = 25^n + 2^{3n+4}\).
exo7 3068
Résoudre ...
exo7 3069
Résoudre : \[\begin{cases} u_{n+2} - u_n = n-1 \cr u_0 = u_1 = 0.\end{cases}\]
exo7 3070
On donne \(u_0,v_0\). Résoudre le système : ...
exo7 3071
Soit \((u_n)\) une suite de réels. On définit les suites dérivé ...
exo7 3072
Soit \(T_n\) le nombre d’entiers naturels de \(n\) chiffres exactement ne comport ...
exo7 3073
On note \(x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}\), \(y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}\), et ...
exo7 3385
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...
exo7 3589
Soit \((M_n)\) une suite de points dans le plan, de coordonnées \((x_n,y_n)\) déf ...
exo7 3642
Soit \(E\) l’ensemble des suites \(u=(u_n)\) à termes réels telles que pour tout ...
exo7 3909
Montrer qu’il existe \(\theta \in {]0, \frac \pi2 [}\) tel que pour tout ...
exo7 4232
Soient \(a,b \in \R\). Étudier la convergence des suites \((a_n)\), ...
exo7 4464
Soit \((u_n)\) une suite définie par la donnée de \(u_0 \in \R^*\) et la relation ...
exo7 4512
Soit \(f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}\) une fonction continue vérifiant : ...
exo7 4549
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \([a,b]\to[c,d]\) continues, bijectives, st ...
exo7 4565
Trouver le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_nz^n\) :
exo7 4619
Soit \(z_1,\dots,z_p\in \C\), \(p_1,\dots,p_p \in \R^+\) tels que ...
exo7 4701
Soit une fonction continue \(f\) de \(\R\) dans ...
exo7 4703
Étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :
exo7 4704
Soit \(k\in\C\) fixé. Étudier la convergence de la suite ...
exo7 4706
Trouver \(\lim_{n\to\infty} \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots + \sqrt{1}}}\) (\(n\) radic ...