Programme de mathématiques MPSI, MP2I · semestre 1
c) Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants $\displaystyle y'' + ay' + by = f(x)$ où $a$ et $b$ sont des scalaires et $f$ est une fonction réelle ou complexe, définie et continue sur un intervalle. | Équation homogène associée. |
Ensemble des solutions de l’équation homogène. Principe de superposition. | Si $a$ et $b$ sont réels, description des solutions réelles. |
Description de l’ensemble des solutions de l’équation à partir d’une solution particulière et des solutions de l’équation homogène associée. | Les étudiants doivent savoir déterminer une solution particulière dans le cas d’un second membre polynôme, de la forme $x \mapsto A\mathrm{e}^{\lambda x}$ avec $(A, \lambda) \in \mathbb{C}^2$, $x \mapsto B\cos(\omega x)$ et $x \mapsto B\sin(\omega x)$ avec $(B, \omega) \in \mathbb{R}^2$. |
Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. | La démonstration de ce résultat est hors programme. |
exo7 1704
Résoudre les systèmes différentiels suivants ...
exo7 1705
Déterminer toutes les suites \((u_{n})\) telles que : ...
exo7 2778
En utilisant les opérations d’addition \(+\) et de multiplication \(\cdot\) de de ...
exo7 4055
Intégrer :
exo7 4056
Intégrer les équations suivantes :
exo7 4058
Montrer que l’équation : \(y^{(4)}+y''+y = |\sin x|\) admet une et une seule solution ...
exo7 4059
Soit \(k \in \R\). Résoudre ...
exo7 4061
Résoudre l’équation \(y'' + |y| = 1\), avec \(y(0) = 0,\ y'(0) = 1\). ...
exo7 4062
Résoudre \((E) : 4xy''+2y'+y=0\) sachant que \((E)\) admet deux solut ...
exo7 4064
\(x,y,z\) sont des fonctions de \(t\). Résoudre les systèmes :
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4067
On désigne par \(y\) la solution de l’équation différentielle ...
exo7 4068
Trouver les fonctions \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telles que : ...
exo7 4086
On considère l’équation différentielle : \(-y'' + \frac y{p^2} = f\) où ...
exo7 4091
Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(\R\) ...
exo7 4093
Soit \(a : \R \to {\R^{+*}}\) une fonction continue.
exo7 4094
Soit \(a : \R \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) croissante strict ...
exo7 4098
Soit \(\lambda > 0\) et \(y\) une solution de ...
exo7 4099
Soit \(y : \R \to \R\) une solution non identiquement nulle de ...
exo7 4101
Soient \({p,q} : \R \to \R\) continues avec : ...
exo7 4104
Soit \(I=[a,b]\subset \R\). On suppose que la fonction \(\Delta\) est strictement ...
exo7 4106
On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur \(\R\) : ...
exo7 4211
Trouver les applications \(f : {(\R^{+*})^2} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) ...
exo7 4215
Soit \(f : {]-1,1[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On considère ...
exo7 4218
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et ...
exo7 4349
Soit \(f:\R \to \R\) continue. On pose ...
exo7 4432
Résoudre les équations différentielles : \(y'' + 2y' + 2y = 0\), ...
exo7 4511
Soit \(y_n\) la solution de l’équation : ...
exo7 4661
Soit \(k \in \R\). Résoudre l’équation différentielle ...
exo7 5479
Résoudre sur \(\Rr\) les équations différentielles :
...
exo7 5480
On considère l’équation différentielle \((E)\) : ...
exo7 5874
Résoudre sur \(\Rr\) l’équation différentielle proposée :
exo7 5876
Soit \(f\) une application de classe \(C^2\) sur ...
exo7 5882
Résoudre les équations différentielles suivantes :
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5884
Trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(]0,+\infty[\) vérifiant ...
exo7 6314
Pour chacune des équations suivantes où \(y=y(x)\) est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisa ...
exo7 6316
On considère l’équation différentielle \[(E)\qquad y''+y'+y=0\]
exo7 6317
On considère les deux équations différentielles du second ordre ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6320
En suivant la méthode d’itération de Picard, trouver la solution des équations avec condition initiale :
(i) ...
exo7 6345
Résoudre le système \(x' = 2x - y\), \(y' = x+ 2y\). Quelle est la soluti ...
exo7 6349
Trouver les solutions du système \(x' = -y\), ...
exo7 6355
On considère l’équation différentielle \({d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)\).
Ecrire le système dif ...
exo7 6356
Montrer que la matrice ...
exo7 6357
On considère les équations ...
exo7 6822
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) on considère le système ...
exo7 6828
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6845
Pour une fonction réelle \(x\) de la variable \(t\) ...
exo7 6997
Résoudre