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Montrer que les groupes multiplicatifs \(\Rr\setminus\left\{0\right\}\) et ...

Soient \(a,b\in\Cc\). L’application \(f:\Cc\to\Cc,z\mapsto iz-\overline{z}\) est- ...

Soient les ensembles ...

Soit \(D=\left\{f\in \Rr[X]: f'(0)=0\right\}.\) Montrer que \(D\) n’est pas u ...

On définit sur \(\Rr\) les deux lois \(\oplus\) et ...

Soit \((G, + )\) un groupe commutatif. On note \(\text{End} (G)\) l’ensemble des ...

Soit \((A, +, \times)\) un anneau. On dit que \(x \in A\) est nilpotent ssi il e ...

Soit \((A, +, \times)\) un anneau.
On appelle centre de \(A\) l’ensemble ...

Soient \(A\) et \(B\) deux anneaux. On définit sur ...

Montrer que si \(A_1, \ldots, A_n\) sont des sous-anneaux de \(A\) alors ...

Soit \(\Zz[i] = \left\{ a + ib, (a, b) \in \Zz^2\right\}\).

Soit \(A\) un anneau commutatif. On dit que \(a\in A\) est nilpotent s’il existe ...

Sur l’ensemble \(\Rr^2,\) on définit la loi \(\star\) par ...

On définit \(A=\left\{a+jb:a,b\in \Zz\right\}\) où \(j=\exp(\frac {2i\pi}3)\). ...

\(\mathcal{J}=\left\{ \left( \alpha ,\alpha \right) :\alpha \in \Zz \right\}\) est-il un idéal de l’anneau ...

Montrer que \(\overline{k}\) est inversible dans l’anneau \(\Zz {/}n\Zz\) si et s ...

Soit l’anneau \(A=\Zz{/}91\Zz\).

Soit \(\mathcal{J}=\left\{ P\in \Zz\left[ X\right] :P\left( 0\right) \in 2 \Zz\right\} .\)

Soit \(A\) un anneau fini commutatif intègre (i.e. \(xy=0\Rightarrow x=0\) ou ...

Soit \(A\) un anneau, on dit que \(x\in A\) est nilpotent si ...

Déterminer les automorphismes du corps \(\Qq\).

Soient \(E\) un \(\Rr\)-espace vectoriel et ...

Soit \(M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\}\) où ...

Montrer que l’ensemble \(S\) des suites réelles convergentes est une \(\Rr\)-algè ...

Soient \(E\) un \(\Rr\)-ev et ...

Un automorphisme d’un corps \(\mathbb{K}\) est une application bijective ...

On suppose que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G,\ast)\) sur ...

Soient \(p\) un nombre premier et \(G\) un groupe d’ordre ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(pn\) avec \(p\) p ...

Déterminer (à isomorphisme près) tous les groupes d’ordre \(4 .\)

Soit \(G\) un groupe dans lequel tout élément (distinct de l’élément neutre) est d’ordre ...

Montrer que tout morphisme de groupes de \(\Q\) dans un groupe fini \(G\) est tri ...

Soit \(G\) un groupe et \(H\) une partie finie non vide de ...

Soit \(G\) un groupe fini de cardinal \(2n\) ( ...

Donner la liste des générateurs de \((\Z /n\Z ,+) .\)

Soit le groupe \(G\) (additif) \(\Zz/40\Zz.\)

Montrer qu’il n’existe aucun élément d’ordre 3 dans le groupe \(\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.\)

Soit \(f\) un morphisme de groupes de \(\Zz/15\Zz\) dans ...

Soit \(G\) le groupe-produit ...

Soit \(f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz\) définie par ...

Les groupes \(\Zz/8\Zz,\) \(\left(\Zz/2\Zz\right)\times \left(\Zz/4\Zz\right)\) e ...

On note \(R_n\) la rotation du plan de centre \(O\), d’angle ...

Déterminer \(\text{card}(S_{3})\) et écrire tous les éléments de \(S_{3}\), puis ...

Décrire tous les morphismes de groupe de \((\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)\), c’est les appli ...

On note \(\mathcal{S}_n\) le groupe symétrique des permutations sur \(n\) élément ...

Soit \(G\) un groupe d’ordre \(2n\) et \(H\) un ...

Rappeler \(\vert S_3\vert .\) Montrer que \(S_3\) ne contient pas d’élément d’o ...

Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...

I
Soit \((G,\cdot)\) un groupe. On définit le centre \(\mathcal{Z}(G)\) de ...

Quel est l’ordre maximal d’un élément de \(S_4 ?\) De \(S_5 ?\) De ...