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Montrer que tout morphisme de corps est injectif.

Soit \(p\) un nombre premier et \(A\) un anneau intègre de caractéristique ...

Soit \(A\) un anneau intègre et \(a,b,c \in A\setminus \{0 \}\). Montrer que, cha ...

Montrer que \(\Q (\sqrt{d}),\; d=7,\; 11\), est un corps.

Pour les anneaux de polynômes sur un corps \(F\) montrer que ...

Trouver tous les automorphismes de l’anneau \(\mathbb{F} [X]\), où \(\mathbb{F}\) ...

Montrer que tout monomorphisme \(A\to A'\) d’anneaux intègres engendre un monomorphisme des corps des fraction ...

Soit \(D\) un anneau intègre fini contenant \(n\) éléments distincts ...

Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer l’équivalence des deux affirmations suivantes :

Montrer que si \(A[X]\) est principal, alors \(A\) est principal.

Montrer que si \(K\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) alors ...

Soit \(E\) un ensemble, on note \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de ...

Ecrire les tables d’opération dans l’anneau \(\Z/6\Z\).

Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.

Déterminer les puissances de \(2\) modulo \(9\). Que dire du groupe ...

Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. On a vu co ...

Le but de cet exercice est de déterminer tous les morphismes d’anneaux de \(\Z/10\Z\) dans un ...

L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).

Soit \(p\) un nombre premier impair. Quels éléments de \((\Z/p\Z)^\times\) sont l ...

Dans l’anneau \(\Z /3 \Z\), calculer \((a+b)^3\) où ...

\(20606\) appartient-il à \(14443 + 3079 \Z\) ?

Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...

Déterminer les racines de \(X^2 - 1\) dans \(\Z/8\Z\). Comparer leur nombre au de ...

Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...

Donner la définition d’un groupe.

L’entier \(51606\) appartient-il à \(2569 + 247\Z\) ?

On note \(\mathbb{F}_{11}\) le corps fini \(\Z/11\Z\). Considérons le groupe ...

Déterminer la liste des inversibles de \(\Z/15\Z\). Déterminer l’ordre de chaque élément dans ...

Le polynôme \(X^2+1\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_3[X]\) ?

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...

Considérons l’anneau \(\Z[i\sqrt{3}]\), le sous-anneaux de \(\C\) engendré par ...

Alice et Bernard décident d’utiliser l’algorithme d’El Gamal. Il utilise le corps \(\mathbb{F}_{19}\) avec l’éléme ...

Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...

Enoncer le théorème de Lagrange.

Le sous-ensemble \(28\Z+18\Z\) de \(\Z\) est-il un sous-groupe de ...

Quels sont les ordres possibles des éléments d’un groupe d’ordre \(6\) ?

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/11\Z)\) ?

Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de ...

Soit \(G\) un groupe, \(e\) son élément neutre et ...

Quels sont les éléments inversibles de l’anneau \((\Z/12\Z)\) ?

Quelle loi fait de l’ensemble de inversibles de l’anneau \(\Z/17\Z\) un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ?

Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?

Combien l’anneau \(\Z/24\Z\) a-t-il d’éléments inversibles ?

Donner la définition d’un idéal dans un anneau commutatif.

On rappelle que \(\mathbb{F}_5\) désigne le corps \(\Z/5\Z\) à cinq éléments.

Quels sont les ordres possibles des éléments de \(\left((F_{19})^\times ,\times\right)\) ?

Donner la définition d’un idéal dans un anneau commutatif.

Donner la définition d’un groupe.

Considérons le groupe \(\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times\). Quels sont les ordres possibles d’un ...

Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...