Programme de mathématiques PC
Intégration sur un intervalle quelconque
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Cette section vise les objectifs suivants :
- étendre la notion d’intégrale étudiée en première année à des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque par le biais des intégrales généralisées ;
- définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intégrable ;
- compléter la section dédiée aux suites et aux séries de fonctions par les théorèmes de convergence dominée et d’intégration terme à terme ;
- étudier les fonctions définies par des intégrales dépendant d’un paramètre.
On évite tout excès de rigueur dans la rédaction. Ainsi, dans les calculs concrets mettant en jeu l’intégration par parties ou le changement de variable, on n’impose pas de rappeler les hypothèses de régularité des résultats utilisés. De même, dans l’application des théorèmes de passage à la limite sous l’intégrale ou de régularité des intégrales à paramètre, on se limite à la vérification des hypothèses cruciales, sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d’intégration.
Les fonctions considérées sont définies sur un intervalle de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$, ensemble des nombres réels ou des nombres complexes.
- a) Fonctions continues par morceaux 11
- b) Intégrales généralisées sur un intervalle de la forme $[a,+\infty[$ 3
- c) Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque 3
- d) Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables 0
- e) Suites et séries de fonctions intégrables 0
- f) Régularité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre 0
Calcul d'intégrale
Le but de l’exercice est de calculer l’intégrale : \[I = \int_0^1 \ln(t)\ln(1-t)\mathrm{d}t\] à l’aide d’un dével ...
exo7 3847
Pour \(x \in {[0,1[}\), on note \(x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}\) le dév ...
exo7 4183
On pose : ...
exo7 4239
Calculer pour tout \(n \in \N^*\) : ...
exo7 4246
Soit \(f : {[0,1]} \to {[0,1]}\) définie par ...
exo7 4269
\(\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4}\)
...
exo7 4273
\(\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12\)
...
exo7 4275
Existence et calcul de \(f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}\).
exo7 4306
Soit \(P\) un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que ...
exo7 4510
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) continue, non identiquement nulle, telle que ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Loi de Poisson
Soit \(\lambda >0\) et \(X\) suivant une loi de Poisson ...
Moments de la loi exponentielle
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ...
Propriétés de la loi normale centrée réduite
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite ...
Séries de Bertrand
Soient \(\alpha \in \R\) et \(\beta \in \R\) deux paramètres réels. On s’intéress ...