Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
b) Dimension d’un espace de dimension finie
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| Contenus | Capacités et commentaires |
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Dans un espace engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n+1$ vecteurs est liée. | |
Dimension d’un espace de dimension finie. | Dimension de $\mathbb{K}^n$, de $\mathbb{K}_n[X]$, de $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. Dimension de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1, de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants, de l’espace des suites vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène d’ordre 2 à coefficients constants. |
Dans un espace de dimension $n$, caractérisation des bases comme familles libres ou génératrices de $n$ vecteurs. | |
Rang d’une famille finie de vecteurs. | Notation $\operatorname{rg}(x_1,\dots,x_n)$. |
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5572
\(E=\Rr_n[X]\). Pour \(0\leqslant k\leqslant n\), on pose ...
exo7 5579
Soient \((x_1,..,x_n)\) une famille de \(n\) vecteurs de rang ...
exo7 5584
Soient \(E\) un espace de dimension finie \(n\) non nulle et ...
exo7 5633
Soient \(n\in\Nn^*\) puis \(\varphi_1\),..., ...
exo7 5640
Calculer \(\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),... ...
exo7 5641
Calculer \(\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_1\),..., ...
exo7 7416
Donner la liste des sous-espaces affines du plan affine \(\Rr^2\) et de l’espace affine ...
exo7 902
Dans l’espace \(\mathbb{R}^4\), on se donne cinq vecteurs : \(V_1=(1,1,1,1)\), ...
exo7 906
Dans \(\mathbb{R}^4\), comparer les sous-espaces \(F\) et ...
exo7 907
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 915
Soient \(f (x) = \cos (x)\), \(g (x) = \cos (x) \cos (2x)\) et ...
exo7 930
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 986
Étudier l’indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 994
Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...
exo7 995
Problème de l’interpolation : soit les cinq points \((x_1,y_1)=(-2,3)\), ...
exo7 996
Déterminer pour quelles valeurs de \(t\in {\Rr}\) les vecteurs ...