Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
c) Orthogonalité
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Vecteurs orthogonaux, orthogonal d’une partie. | Notation $X^\perp$. L’orthogonal d’une partie est un sous-espace. |
Famille orthogonale, orthonormée (ou orthonormale). Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Théorème de Pythagore. Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. |
exo7 1467
Soit \(E\) un espace euclidien, et \(\left( e_{1},...,e_{n}\right)\) des vecteurs ...
exo7 1476
Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien, \(F\) et ...
exo7 1487
Soit \(\left(E,\;|\;\right)\) un espace vectoriel de dimension \(n\).
exo7 1488
Soient \(E\) un espace vectoriel euclidien, \(F\) et ...
exo7 1490
Soit \(E\) un espace euclidien (de dimension finie), \(F\) et ...
exo7 1494
Soit \(F\) le sous-espace de \(\R^5\) engendré par ...
exo7 1496
Soit \(A = \left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&1\\1&1&2\end{array}\right)\). Montrer que ...
exo7 1499
\(\Rr^3\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Vérifier que les vecteurs ...
exo7 1500
\(\Rr^4\) est muni de sa structure canonique d’espace vectoriel euclidien. Soient ...
exo7 1501
On munit le \(\Rr\)-espace vectoriel \(\Rr_2[X]\) du produit scalaire défini par ...
exo7 1503
Orthonormaliser dans \(\Rr^{3}\) la famille \(x_{1} = (1, -2, 2)\), ...
exo7 1504
Déterminer une base orthonormée de \(\Rr_{2}[X]\) muni du produit scalaire ...
exo7 1506
On considère un espace euclidien \((E,<>)\).
exo7 1507
Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien, \(x_{0}\) un point de ...
exo7 1508
A deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\R_{n}[X]\) ...
exo7 1548
Soit \(\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})\) une base orthogonal d’un espace euclidien ...
exo7 1565
Soit \(A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .\) Montrer pour tout ...
exo7 1569
Soit \(A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)\). Montrer que ...
exo7 1570
Soit \(E\) euclidien, ...
exo7 1982
Compléter \(x_{1} = (1, 2, 1)\) en base orthogonale directe de \(\Rr^{3}\) euclid ...
exo7 2229
Soit \(v\) un vecteur réel vérifiant \(v^Tv=1\). Montrer que la matrice de Househ ...
exo7 2230
Etant donnés \(n\) vecteurs linéairement indépendants de \(\Rr^m\), ...
exo7 3661
Trouver une base orthonormée de \(\R_3[X]\) pour le produit scalaire : ...
exo7 3662
Soit \(E = \R_2[X]\) muni du produit scalaire : ...
exo7 3665
On munit \(E = \R_n[X]\) du produit scalaire : Pour \(P = \sum_i a_iX^i\) et ...
exo7 3666
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension 4, ...
exo7 3671
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(p\), ...
exo7 3672
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, et \(\vec e_1,\dots,\vec e_n\) des vect ...
exo7 3678
Soit \(E\) un espace euclidien, \({\cal B} = (\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) une base ...
exo7 3679
Soit \(E\) un espace euclidien, \({\cal B} = (\vec u_1,\dots,\vec u_n)\) une base ...
exo7 3682
Soit \(E\) = \(\R[X]\). On pose ...
exo7 3685
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien, et \((\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) une fa ...
exo7 3686
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n\) une famil ...
exo7 3691
Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de ...
exo7 3705
Déterminer les sous-groupes de \({\cal O}^+(3)\) de cardinal 2,3, ou 4.
exo7 3709
Compléter la matrice ...
exo7 3736
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3737
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3745
Soit \(M \in {\cal O}(n)\).
exo7 3749
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\).
exo7 3752
Quelles sont les matrices \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) égales à leur comatrice ?
exo7 3782
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint tel que \(\mathrm{tr}(u) = 0\).
exo7 3787
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). Montrer qu’il existe une base orthonormée ...
exo7 3819
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\R)\) telle que \(A^2 = -I_n\).
exo7 3823
Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(F_1,\dots,F_n\) des sous-espaces vectorie ...
exo7 3829
Soit \((P_n)_{n\in \N}\) une suite de polynômes de degrés étagés ( ...
exo7 3832
Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n \in E\). On note ...
exo7 3835
Montrer qu’il existe des polynômes \(P_0,\dots,P_n \in \R_n[X]\) tels que : ...
exo7 4945
Soient \({\cal T},{\cal T}'\) deux torseurs de sommes non nulles, orthogonales. Montrer que le comoment de ...
exo7 5484
Dans \(\Rr^4\) muni du produit scalaire usuel, on pose : \(V_1=(1,2,-1,1)\) et ...