Programme de mathématiques PCSI · semestre 1
A - Limites et continuité
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Le paragraphe a) consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà étudiées pour les suites. Afin d’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats.
Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de disposer d’outils efficaces (développements limités).
- a) Limite d’une fonction en un point 152
- b) Continuité en un point 173
- c) Continuité sur un intervalle 225
- d) Fonctions complexes 2
exo7 675
Etudier la continuité sur \(\mathbb{R}\) des fonctions suivantes :
exo7 676
Montrer que l’application \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par ...
exo7 677
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur \(\R\) ? ...
exo7 678
Étudier la continuité sur \(\Rr\) des fonctions suivantes :
exo7 679
Etudier la continuité de
exo7 6790
Soit \(I\subset \Rr\) un intervalle fermé borné et soit \(f: I \to I\) une applic ...
exo7 680
Soit \(f : \Rr \rightarrow \Rr\) continue en \(0\) telle que pour chaque ...
exo7 6803
Pour la sphère \(S^2\) on considère la carte ...
exo7 681
La fonction \(\dfrac 1x\) est-elle lipschitzienne sur \(]0, + \infty[\) ? sur ...
exo7 682
Soit \(f : [0,1]\longrightarrow \R\) définie par \(f(0)=0\), ...
exo7 683
Étudier la continuité des fonctions suivantes :
exo7 685
Soit \(f\) définie par \(f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)},\) où ...
exo7 687
Montrer que l’équation \(x^7-3\,x^2+4\,x-1=0\) admet au moins une solution dans l’intervalle ...
exo7 688
Soient \(n \in \N^*\) et \(d \in \R^+\). Démontrer en utilisant le théorème des v ...
exo7 691
Soit la fonction \(f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R\), définie par ...
exo7 695
On dit qu’un ensemble \(A\) de fonctions définies sur un intervalle \(I=[a,b]\) d ...
exo7 696
On dit qu’une suite \((f_{n})_{n\in \Nn}\) de fonctions définies sur \(I=[a,b]\) ...
exo7 697
\(f:[a,b]\rightarrow {\Rr}\) est à variation bornée si et seulement si : ...
exo7 6973
Montrer que pour tout \(x>0\), on a ...
exo7 6975
Simplifier l’expression \(\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}\) et donner ses limites en ...
exo7 700
Soit \(f : \Rr^* \longrightarrow \Rr\) définie par ...
exo7 707
Prolonger par continuité en \(0\) et étudier la dérivabilté de
exo7 713
La fonction \(x\rightarrow \cos \sqrt{x}\) est-elle dérivable en \(0\) ?
exo7 720
Soit \(f\) une fonction continue et dérivable sur \([a,+\infty[\) et telle que ...
exo7 729
Appliquer la règle de l’Hôpital aux calculs des limites suivantes : ...
exo7 730
Calculer \[\lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ;\]
...
exo7 732
Soit \(f : \Rr^ + \rightarrow \Rr\) dérivable telle que ...
exo7 738
Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 758
Montrer qu’il n’existe pas de fonction \(f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr\) vérifiant: ...
exo7 759
Calculer : ...
exo7 772
Préciser les comportements
de \(\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}\) quand ...
exo7 774
Déterminer \(\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))\).
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 798
Dire (avec justification) si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 801
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions intégrables sur ...
exo7 803
Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant ...
exo7 842
Soient \(f\) et \(g\) continues de \([0,1]\) dan ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...