Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 1147
Soient \(a,b,c\) trois réels et \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille ...
exo7 1148
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1149
Soit \(\Delta_{n}\) le déterminant de taille \(n\) suivant : ...
exo7 1150
Soit \(u\) l’application de \(\R_{n}[X]\) dans ...
exo7 1151
Soit \(E\) un espace vectoriel réel de dimension finie \(n\) et ...
exo7 1152
Inverser les matrices ...
exo7 1153
Montrer que ...
exo7 1154
Une matrice carrée \(A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr})\) est dite triangulaire supérieure lorsq ...
exo7 1155
On considère les matrices :
...
exo7 1156
Soit \(S\) la matrice \(5 \times 5\) à coefficients réels : ...
exo7 1157
Soit \(A \in M_3 (\Rr)\) anti-symétrique. Calculer \(\det (A)\). Ce résultat vaut ...
exo7 1159
Soit \(\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}\) tel que \(A^{2}+B^{2}=AB\) et ...
exo7 1162
Soit \(A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})\) telle que : ...
exo7 1164
Sans chercher à résoudre les systêmes suivants, discuter la nature de leurs ensembles de solution : ...
exo7 1165
Soient \(x_0\),\(x_1\),...,\(x_n\), ...
exo7 1166
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 1167
Écrire les conditions, portant sur les réels \(a\), \(b\), ...
exo7 1168
Résoudre et discuter suivant les valeurs de \(b_1\), \(b_2\), ...
exo7 1169
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\), \(a\), ...
exo7 1170
Discuter et résoudre suivant les valeurs des réels \(\lambda\) et \(a\) : ...
exo7 1172
Calculer les déterminants suivants. ...
exo7 1173
Résoudre et discuter le système linéaire suivant : ...
exo7 1174
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb{R}^5\) dans ...
exo7 1175
Pour tout \(a\) réel, on considère la matrice \(A\) et le système linéaire ...
exo7 1176
Déterminer le noyau de la matrice \(\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&1\\2&3&7 \end{pmatrix}\) ...
exo7 1178
Trouver les solutions de ...
exo7 1179
Résoudre suivant les valeurs de \(a \in \Rr\) ...
exo7 1180
Résoudre suivant les valeurs de \(a \text{ et } \mu \in \Rr\) ...
exo7 1181
Inverser en utilisant un système linéaire la matrice ...
exo7 1182
Résoudre \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2x + b^2y + c^2z = d^2 \end{cases}\).
exo7 1183
Résoudre \(\begin{cases} -cy + bz = \alpha \\ cx-az = \beta \\ -bx + ay = \gamma \end{cases}\).
exo7 1184
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\) des éléments ...
exo7 1185
On considère le système ...
exo7 1186
L’objectif de ce problème est de résoudre l’énigme du berger :
Un berger possède un troupeau de 101 moutons et remarque par hasard la
proprié ...
exo7 1187
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 1188
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(A\) la ma ...
exo7 1189
Soient \(v_1=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) et ...
exo7 1191
Discuter le rang de la matrice suivante en fonction des paramètres réels \(x\) et ...
exo7 1192
Sans chercher à le résoudre, discuter la nature des solutions du système suivant, en fonction de \(\alpha,a,b\) et ...
exo7 1207
Déterminer les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) qui vérifient ...
exo7 1313
Soit l’ensemble ...
exo7 1314
Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes : ...
exo7 1321
On nomme \(M_n({\Zz})\) l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coeffic ...
exo7 1322
L’ensemble des matrices \(\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}\) avec ...
exo7 1344
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose la matrice ...
exo7 1347
Pour tout couple \((a,b)\) de \(\Rr^2\), on pose ...
exo7 1356
Soient les ensembles ...
exo7 1381
Soit \(M=\left\{aI_2+bJ\in\mathcal{M}_2(\Rr):a,b\in\Rr\right\}\) où ...
exo7 1408
Dans \(\R^{n}\), on désigne par \((e_{1},...,e_{n})\) la base canonique. A une pe ...
exo7 1413
Soit \(GL_2(\Rr)\) l’ensemble des matrices inversibles \(2\times 2\) à cœfficient ...