Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 2475
Trouver toutes les matrices de \(\mathcal{M}_3(\Rr)\) qui vérifient
exo7 2477
Soit \(A\) une matrice carrée réelle d’ordre \(n\) non nulle et nilpotente.
exo7 2479
On considère la matrice \(N\times N\) ...
exo7 2513
Soit \({\cal F}\) l’algèbre des matrices carrés \(p\times p\) munie d’une norme. ...
exo7 2563
Soit \(M\) la matrice réelle \(3\times3\) suivante : ...
exo7 2564
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2565
Soit \(A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\) une matrice carrée \(n\times n\). On veut d ...
exo7 2566
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}\] Démontrer que ...
exo7 2567
Soit \[A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}\] Factoriser le polynôme ca ...
exo7 2569
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2570
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). On suppose que ...
exo7 2575
(4 points) On suppose qu’une population \(x\) de lapins et une population ...
exo7 2576
(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la ...
exo7 2577
(7 points) Soient \(M\) et \(A\) deux matrices de ...
exo7 2578
Soient \(a,b,c\) des réels vérifiant \(a^2+b^2+c^2=1\) et ...
exo7 2579
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\) ( ...
exo7 2580
Soit \(M\) la matrice de \(\R^4\) suivante ...
exo7 2582
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2583
Soit ...
exo7 2588
Soit \(N\) une matrice nilpotente, il existe \(q\in\N\) tel que ...
exo7 2590
La suite de Fibonacci \(0,1,1,2,3,5,8,13,...\) est la suite \((F_n)_{n\geq 0}\) d ...
exo7 2591
Soit \(a\in\R\), notons \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2592
Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : ...
exo7 2593
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\R^4\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2594
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2595
Soit \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2599
Soit \(m\in\R\), et \(A\) la matrice ...
exo7 2601
Soit \(A\) la matrice suivante : ...
exo7 2603
Soit \(a\in\R\) et \(A\) la matrice suivante ...
exo7 2605
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\) dont la matrice dans la base canonique est ...
exo7 2606
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique es ...
exo7 2607
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 2610
Soit \(\alpha\in\R\) et \(A_\alpha\in M_3(\R)\) la matrice suivante ...
exo7 2611
Soit \(A\) une matrice \(2\times 2\) à coefficients réels. ...
exo7 2612
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\). On note ...
exo7 2613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\). On cherche à déterminer une ma ...
exo7 2668
Matrices de permutation
Soit \(n\in\N^*\) et \(K\) un corps. Montrer que l ...
exo7 2732
En appliquant l’algorithme de Gauss, résoudre le système linéaire suivant : ...
exo7 2733
Résoudre le système : ...
exo7 2734
Résoudre le système : ...
exo7 2735
Soit \(a\) un nombre réel. On étudie le système linéaire suivant : ...
exo7 2738
Soient \(a\), \(b\), et \(c\) trois nombres réel ...
exo7 2739
Résoudre, suivant les valeurs de \(m\) : ...
exo7 2740
On munit \(\mathbb{R}^2\) d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Montr ...
exo7 2741
Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}^4\) dans ...
exo7 2742
Soit l’application \(f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3\) donnée par : ...
exo7 2744
Soit la matrice ...
exo7 2745
Soit la matrice ...
exo7 2746
Soit la matrice ...
exo7 2749
Calculer \(A^n\) pour tout \(n\in\mathbb{Z}\), avec successivement ...