Programme de mathématiques PCSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- introduire la notion de déterminant d’une famille de vecteurs, en motivant sa construction par la géométrie ;
- établir les principales propriétés des déterminants des endomorphismes et des matrices carrées, et indiquer quelques méthodes simples de calcul.
exo7 2750
Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. ...
exo7 2751
Inverser les matrices suivantes : ...
exo7 2752
L’exponentielle d’une matrice carrée \(M\) est, par définition, la limite de la série ...
exo7 2754
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2755
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2756
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2757
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 2758
Soit \(M = (m_{ij})\) une matrice carrée de taille \(n\). On construit à partir d ...
exo7 2759
Calculer les inverses des matrices suivantes de deux manières différentes : ...
exo7 2760
En utilisant le déterminant montrer que chacun des systèmes suivants admet une solution unique. Résoudre chacun de ces système en inversant la matr ...
exo7 2761
Soit \(f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) l’application linéaire définie par ...
exo7 2764
Trouver une matrice carrée inversible \(P\) telle que \(B = PAP^{-1}\) soit diago ...
exo7 2768
Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coeffic ...
exo7 2769
Résoudre le système suivant de \(5\) équations à \(6\) inconnues : ...
exo7 2770
Pour chaque couple de matrices \((A_i, b_i)\), \(1\leq i\leq 5\), ci-dessous
exo7 2772
On considère la matrice ...
exo7 2773
Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice ...
exo7 2774
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(A\) la matri ...
exo7 2775
Calculer l’inverse de la matrice suivante : ...
exo7 2776
On désigne par \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) ...
exo7 2781
Les familles suivantes sont-elles libres ?
exo7 2782
On suppose que \(v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n\) sont des vecteurs indépendants de ...
exo7 3002
On considère le groupe \(G = \Z^2\). Une base de ...
exo7 3170
Soit \(k\in\N^*\) et \(z_0,\dots,z_k\) des complexes. Soient les polynô ...
exo7 3289
Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...
exo7 3312
On considère que \(\C\) est un \(\R\)-espace vectoriel.
exo7 3317
Montrer que dans \(\R^3\), les trois vecteurs \(\vec a = (1,0,1)\), ...
exo7 3318
Dans \(\R^4\), trouver le rang de la famille de vecteurs :
...
exo7 3358
Soit \(M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(M\) est en dam ...
exo7 3359
Soit
...
exo7 3360
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\). On dit que \(A\) est centro ...
exo7 3361
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\Q)\). Comparer les énoncés :
1: ...
exo7 3362
On note ...
exo7 3365
Soient \(A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)\), \(A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)\), ...
exo7 3366
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer qu’il existe \(U,V \in GL_n( K)\) telles ...
exo7 3367
Soit \(P \in GL_n( K)\). Montrer que l’application ...
exo7 3368
Soit \(u\in\mathcal{L}({\R^3})\) ayant pour matrice dans la base canonique ...
exo7 3369
On note \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_n(K)\).
exo7 3370
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) ayant même matrice dans toutes les bases de \(E\). ...
exo7 3373
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3374
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\) non scalaire telle que ...
exo7 3376
Soit \(H\) un hyperplan de \(\mathcal{M}_n(K)\) ...
exo7 3377
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de ...
exo7 3378
Soit \(A\) une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que \(A\) est nilp ...
exo7 3379
Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)\). On note ...
exo7 3380
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique.
exo7 3381
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}\). On veut résoudre l’équation dans ...
exo7 3384
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)\). On dit que \(A\) est positive si tous ses c ...
exo7 3385
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(K)\). Exprimer en fonction de \(k\) le terme génér ...
exo7 3386
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\). On suppose qu’il existe \(\lambda,\mu \in K\) e ...