Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 3237
Soit \(P \in {\Q[X]}\) tel que \(P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0\). Démontre ...
exo7 3238
Montrer que \(x = 2\cos\frac {2\pi}7\) est racine de \(X^3 + X^2 - 2X - 1\). Quel ...
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3240
Soit \(P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8\).
Trouver \(Q \in {\R[X]}\) tel que ...
exo7 3241
Soient \(P,Q \in {\Q[X]}\). Montrer que \(P\) et ...
exo7 3243
Soit \(P \in \R_n[X]\setminus\{0\}\).
Pour \(x\in\R\) on note ...
exo7 3245
Soient \(a_0,\dots,a_n\in\R\) tels que \(|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n\). So ...
exo7 3246
Factoriser \(X^8 + X^4 + 1\) sur \(\R\).
exo7 3247
Démontrer que \(1 + (X-1)^2(X-3)^2\) est irréductible dans ...
exo7 3253
Soit \(K\) un sous-corps de \(\C\), \(a\in K\) e ...
exo7 3254
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 + pX + q\), ...
exo7 3255
Soient \(x_1,x_2,x_3,x_4\) les racines de \(X^4 + X + 1\). Calculer ...
exo7 3256
Soient \(x_1,\dots,x_8\) les racines de \(X^8 + X^7 - X^2 + 3\). Calculer ...
exo7 3257
Soient \(a,b,c\) les racines de \(X^3 - X + 1\). Calculer ...
exo7 3258
Résoudre ...
exo7 3259
Résoudre dans \(\C\) le système : ...
exo7 3261
Soient \(a,b,c \in \C\).
Montrer que ces nombres sont en progression géométrique ...
exo7 3262
Soit \(P = X^3 + pX + q\) de racines \(a,b,c\).
exo7 3263
Soient \(A,B,C\) les points dont les affixes sont les racines de \(X^3 + pX + q\) ...
exo7 3264
Soit \(P = X^4 + aX^2 + bX + c\) de racines \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\). CNS p ...
exo7 3265
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + 2X^2 + 3X + 4\).
Calculer le ...
exo7 3266
Soient \(x_1,x_2,x_3\) les racines de \(X^3 + aX^2 + bX + c\).
Calculer le ...
exo7 3267
Trouver \(\lambda \in \R\) tel que \(2X^3 + 5X^2 - X + \lambda\) ait une racine d ...
exo7 3268
Soit \(n \in \N^*\) et \({\cal E}\) l’ensemble des polynômes à ...
exo7 3269
Soit \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) avec \(a,b,c,d\) réels. D ...
exo7 3272
Soit \(F \in {\C(X)}\). Étudier ...
exo7 3273
Trouver tous les couples \((F,G) \in \bigl({\C(X)}\bigr)^2\) tels que ...
exo7 3274
Soit \(F \in {\C(X)}\) telle que \(F(e^{2i\pi/n}X) = F(X)\). Montrer qu’il existe ...
exo7 3277
Soit \(F = \frac 1{X^2+1}\). Montrer qu’il existe un polynôme ...
exo7 3279
exo7 3280
Décomposer en éléments simples sur \(\R\) puis sur ...
exo7 3281
Calculer les dérivées \(p\)-ièmes des fractions suivantes :
exo7 3282
A l’aide de décomposition en éléments simples, calculer :
exo7 3283
Soit \(F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}\) avec \(Q(a) \ne 0\). Cherche ...
exo7 3284
Soient \(a_1,\dots,a_n \in K\) distincts et \(P = (X-a_1)\dots(X-a_n)\).
exo7 3285
Soit \(P \in {\C_n[X]}\) \((n \ge 2)\) ayant ...
exo7 3287
Soient \(a_1, \dots, a_n \in K\) distincts et ...
exo7 3288
Trouver les fractions \(F \in {\R(X)}\) telles que : ...
exo7 3289
Soient \(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\), et \(c\) des scalaires distincts. On ...
exo7 3290
Soit \(P \in {\R[X]}\) ayant \(n\) racines positives distinctes (entre autres). ...
exo7 3291
Soit \(P\in\R[X]\) unitaire de degré \(n\) et ...
exo7 3305
Soit \(A = \{P\in\R[X]\) tq \(P=(1-X)Q(X^2)\) avec ...
exo7 3324
Soient \(K, \mathbb{L}\) deux corps avec \(K \subset \mathbb{L}\).
Un élém ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3443
Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et ...
exo7 3458
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R\). Mettre le déterminant : ...
exo7 3460
Soit \(P \in K_{n-1}[X]\) et \(A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)\). ...
exo7 3499
Chercher les valeurs propres des matrices :
exo7 3502
Déterminer les valeurs propres de la matrice ...