Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Analyse asymptotique
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L’objectif de cette section est d’introduire les techniques asymptotiques fondamentales, dans les cadres continu et discret. Les fonctions et les suites y sont à valeurs réelles ou complexes, le cas réel jouant un rôle prépondérant. On donne la priorité à la pratique d’exercices plutôt qu’à la vérification de propriétés élémentaires relatives aux relations de comparaison.
Les développements limités sont les principaux outils du calcul asymptotique. Afin d’en disposer au plus tôt, on traitera en premier lieu les fonctions. Les étudiants doivent connaître les développements limités usuels et savoir mener à bien rapidement des calculs asymptotiques simples. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils logiciels.
Cette section permet de revenir sur la problématique de la vitesse de convergence introduite au premier semestre lors de l’étude des fonctions de variable réelle.
- a) Relations de comparaison : cas des fonctions 107
- b) Développements limités 138
- c) Relations de comparaison : cas des suites 65
exo7 754
Étudier la suite \((u_{n})_{n\in \Nn}\) définie par : ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 775
Montrer que \(\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x\). En déduire un équivalent de ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 818
Soit \(I_{n} = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin ^n tdt\).
exo7 837
Calculer \(\lim \limits_{n \rightarrow + \infty} ( \frac{ (2n) ! }{n ! n^n})^{\frac 1n}\).
exo7 917
Soit \(\alpha \in \Rr\) et \(f_\alpha : \Rr \to \Rr\), ...
Limites - le retour
Traiter les limites de l’exercice 10 en utilisant les négligeabilités et équivalences (sauf limites \(4\) et ...
Règle de Raabe-Duhamel
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) deux séries à termes réels strictement positi ...
Série télescopique cachée et équivalent
Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose ...
Séries de même nature via un équivalent
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs et soit ...
Variations autour de la série harmonique
Calculer \(\displaystyle \sum_{n=1}^{k} \left(\ln(n+1)-\ln(n)\right)\) pour tout ...
Vrai ou faux ?
Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée mais une mauvaise réponse entraîne une pénalité de points.
Étude d'une série numérique
Soit \(\alpha\) un nombre réel et \((u_n)\) la suite définie pour tout entier nat ...
Étude de la nature d'une série
Prouver qu’un équivalent de \(e^{x^2}-\cos(x)\) au voisinage de \(0\) est ...
Étude d’une famille de séries à l’aide d’une rationalisation
Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout ...