Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
a) Généralités
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Application linéaire. | |
Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition. Isomorphisme, réciproque. | Espace vectoriel $\mathscr{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$. Bilinéarité de la composition. |
Image directe et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire. | |
Image d’une application linéaire. | Notation $\operatorname{Im}u$. |
Noyau d’une application linéaire. Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille finie génératrice de $E$ et si $u\in\mathscr{L}(E,F)$, alors $\operatorname{Im}u=\operatorname{Vect}(u(x_i))_{i\in I}$. | Notation $\operatorname{Ker}u$. Caractérisation de l’injectivité. |
Application linéaire de rang fini. Le rang de $v\circ u$ est majoré par $\min(\operatorname{rg}(u),\operatorname{rg}(v))$. Invariance du rang par composition par un isomorphisme. | Notation $\operatorname{rg}(u)$. |
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 5170
Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de \(\Rr^3\) dans \(\Rr^2\) ...
exo7 5171
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et \(f\) ...
exo7 5186
Soit \(E=\Rr_n[X]\), le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients rée ...
exo7 5187
Soient \((e_i)_{1\leq i\leq 4}\) la base canonique de \(\Rr^4\) et ...
exo7 5188
Soit ...
exo7 5190
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5193
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) ...
exo7 5208
Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites sécantes d’équation respectives ...
exo7 5260
Soit ...
exo7 5271
Soit \(f\) qui, à \(P\in\Rr_{2n}[X]\) associe ...
exo7 5487
Soit \(a\) un vecteur non nul de l’espce euclidien \(\Rr^3\). On définit ...
exo7 5495
Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) euclidien. Soient ...
exo7 5580
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie et soient ...
exo7 5581
Soient \(E\), \(F\) et \(G\), trois ...
exo7 5583
Soient \(E\) un espace vectoriel non nul de dimension finie et \(f\) un endomorph ...
exo7 5586
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de ...
exo7 5589
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un ...
exo7 5600
Soit \(E\) un \(\Cc\)-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient ...
exo7 5601
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\Kk\)-espaces vecto ...
exo7 5602
Soit \(E=\Kk_n[X]\). \(u\) est l’endomorphisme de ...
exo7 5621
Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n\) et ...
exo7 5629
Soient \(n\in\Nn^*\) et \(E=\Cc_n[X]\). Pour ...
exo7 5631
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et ...
exo7 5654
Soit \(f\) qui à \(P\) élément de ...
exo7 5655
Soit \(E=\Rr_{3}[X]\). Pour \(P\) élément de ...
exo7 5796
Soit \(f\) une application de \(\Cc\) dans ...
exo7 5871
Soit \(\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3\). Pour \(\overrightarrow{x}\in\Rr^3\), on ...
exo7 5900
Soit \((E,\|\;\|)\) un espace vectoriel normé et \(B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}\). ...
exo7 602
Soient \(f\) et \(g\) deux formes linéaires sur un espace vectoriel ...
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6207
Soit \(K\) un compact convexe d’un evn \(E\). Soit ...
exo7 6237
Soit \(a,b\in E\) evn, ...
exo7 6258
Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une ap ...
exo7 6318
On considère l’équation différentielle du second ordre \[({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)\] où ...
exo7 6388
Déterminer la nature des applications suivantes : \(\Rr^2 \rightarrow \Rr^2\), ...
exo7 6411
Rappelons qu’une application \(g\in SO(3)\) est dite retournement si ...
exo7 6775
(D’abord un cas particulier) Dans \(\Rr^3\) on considère les objets suivants : le demi-espace ...
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7432
Soit le plan affine \(E\) muni du repère cartésien \((A,\vec{u},\vec{v})\). On co ...
exo7 7462
Soit \(E\) un espace affine euclidien de dimension 3 muni d’un repère cartésien orthonormé. On note ...
exo7 7501
Soit \(P\) un plan affine et \((A,B,C)\) un repère affine. Donner la condition d’ ...
exo7 7890
Montrer qu’en dimension \(2\) le groupe symplectique d’une forme alternée non dégénérée est isomorphe au groupe sp ...