Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Endomorphismes
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Identité, homothéties. | Notations $\mathrm{id}_E$, $\mathrm{id}$. |
Opérations sur les endomorphismes : combinaison linéaire, composition. | Notation $u^k$ pour $u\in\mathscr{L}(E)$ et $k\in\mathbb{N}$. |
Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique, caractérisation par $p^2=p$, par $s^2=\mathrm{id}$. | On incite les étudiants à se représenter géométriquement ces notions par des figures en dimension 2 et 3. |
Automorphismes. Groupe linéaire. | Notation $\mathrm{GL}(E)$. On vérifie les propriétés lui conférant une structure de groupe, mais la définition axiomatique des groupes est hors programme. Notation $u^k$ pour $u\in\mathrm{GL}(E)$ et $k\in\mathbb{Z}$. |
exo7 3659
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\), et ...
exo7 3707
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, \({\cal B}\) une ...
exo7 3711
Reconnaître les endomorphismes de \(\R^3\) définis par les expressions analytiques dans la base canonique :
exo7 3735
Soit \(\vec v \in E\setminus\{\vec0\}\) et \(\lambda \in \R\). On pose pour ...
exo7 3738
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soient ...
exo7 3742
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3743
Quels sont-ils ?
exo7 3747
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3748
Soit \(E\) un espace euclidien de dimension \(n\). Soit ...
exo7 3761
On considère l’endomorphisme de \(\R^3\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 3768
Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de matrice dans la base canonique de \(\R^4\) : ...
exo7 3775
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\R)\) antisymétrique et \(f\) l’endomorphisme de ...
exo7 3800
Soit \(E\) un espace euclidien et \(s\) une symétrie de ...
exo7 3803
Soit \(E = \mathcal{C}([0,1],\R)\) muni du produit scalaire défini par ...
exo7 3821
Soient \(n \in \N^*\), \(S_n(\R)\) l’espace des matrices ...
exo7 4066
Soit \((p,q)\in\R^2\) et \((E)\) l’équation : ...
exo7 4071
Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants :
exo7 4072
Soit \(A\) un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme \(P\) d ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4865
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M \in (ABC)\). On note ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 4877
Soient \(\pi,\pi'\) deux projections dans un espace affine \({\cal E}\) ayant ...
exo7 4883
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4895
Soient \(A,B,C\) trois points non alignés et \(M_1 \in (AB)\). On construit les p ...
exo7 4904
Soit \({\cal C}\) un cercle de centre \(O\), et ...
exo7 4954
Trois figures \(F_1,F_2,F_3\) se déduisent l’une de l’autre par rotations. Montrer qu’il existe une figure ...
exo7 4956
Soit \(G\) un sous-groupe fini de déplacements du plan.
exo7 4965
Soit \(ABCD\) un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à d ...
exo7 4978
Soit \(ABCD\) un tétraèdre régulier, et \(d_{AB},d_{AC},d_{AD}\) les ...
exo7 5171
Soit \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel et \(f\) ...
exo7 5182
Soit \(E=\Rr[X]\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. ...
exo7 5192
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5194
Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\), ...
exo7 5202
Soient \(n\) un entier supérieur ou égal à ...
exo7 5204
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points non al ...
exo7 5257
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5259
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\Rr^3\) dont la matrice dans la base canonique ...
exo7 5361
Dans \(E=\Rr^n\), on considère l’hyperplan \(H\) d’équation ...
exo7 5488
Matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équations \(3x=6y=2z\) dans la base canonique orthonormée de ...
exo7 5489
\(E=\Rr^3\) euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe ...
exo7 5509
Dans \(\Rr^3\), soient \((D)\) ...
exo7 5548
Soit, dans \(\Rr^3\) rapporté à un repère orthonormé ...
exo7 5550
Soit \(P\) un polynôme de degré \(3\) à coefficients réels. Montrer que la courbe ...
exo7 5565
\(E=\Kk^n\) où \(\Kk\) est un sous-corps de ...
exo7 5583
Soient \(E\) un espace vectoriel non nul de dimension finie et \(f\) un endomorph ...
exo7 5587
Soit \(E\) un espace vectoriel non nul. Soit \(f\) ...
exo7 5589
Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un ...
exo7 5590
Soit \(E\) un espace de dimension finie. Montrer que la trace d’un projecteur est s ...