Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Calcul matriciel et systèmes linéaires
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Le but de cette section est de présenter une initiation au calcul matriciel. Ainsi, on prépare l’étude géométrique de l’algèbre linéaire menée au second semestre, on revient sur l’étude des systèmes linéaires.
Dans cette section, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Opérations sur les matrices 111
- b) Opérations élémentaires 15
- c) Systèmes linéaires 89
- d) Ensemble des matrices carrées 255
Ajuster une droite en pénalisant sa pente
On veut ajuster le modèle \(\widehat y=ax+b\) aux deux observations \((0,0)\) et ...
Calcul de déterminant
Calculer : ...
Calcul de déterminant
Calculer les déterminants ci-dessous en indiquant la méthode de calcul :
...
Calcul de déterminants de matrices triangulaires
Calculer les déterminants suivants : ...
Compter les paramètres d'un RNN, LSTM et GRU
Le nombre de paramètres d’un réseau est un indicateur clé de sa capacité et de son coût d’entraînement. On note :
...
Des polynômes
Existe-t-il un polynôme \(P\in \R_3[X]\) vérifiant \(P(1)=P(-1)=P'(1)=1\) ? ...
Diagonalisation et calcul de puissance
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.\]
Déterminant d'un produit
En utilisant le déterminant, justifier l’existence d’une matrice \(A\) vérifiant : ...
Déterminant d'un produit
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées telles que ...
Déterminant de Vandermonde
Montrer que : ...
Déterminant nul
Sans calculs (ou presque), justifier que les déterminants suivants sont nuls. ...
exo7 1040
Effectuer le produit des matrices : ...
exo7 1042
On considère les trois matrices suivantes : ...
exo7 1043
On considère les deux matrices suivantes : ...
exo7 1046
Soit \(A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0& 1 &1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et soit ...
exo7 1047
On considère la matrice ...
exo7 1048
suivantes. ...
exo7 1051
Rappeler la structure d’espace vectoriel de \(M_n({\Rr})\). Déterminer une base de ...
exo7 1052
Soit \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix}\). Cal ...
exo7 1053
Déterminer deux éléments \(A\) et \(B\) de ...
exo7 1059
Soit \(N\in M_n(\C )\) une matrice nilpotente. Calculer \(\hbox{det}(I+N) .\) Si ...
exo7 1063
Soient \(A\) et \(B \in \mathcal{M}_n(\Rr)\) telles que ...
exo7 1064
Que peut-on dire d’une matrice \(A \in \mathcal{M}_n (\Rr)\) qui vérifie ...
exo7 1066
Calculer l’inverse de \(\begin{pmatrix} 1&2&1\\1&2&-1\\-2&-2&-1 \end{pmatrix}\).
exo7 1068
Soit \(M\in M_{n}({\Rr})\) telle que \(M-I_{n}\) soit nilpotente (ie ...
exo7 1073
Soit \((A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}\) tel que \(\forall X\in M_{n}(\Cc),\) ...
exo7 1079
Calculer l’inverse de : ...
exo7 1114
Calculer les déterminants des matrices suivantes : ...
exo7 1115
Calculer, pour tout \(t\in {\Rr}\) le rang des matrices ...
exo7 1116
Soient \(A \in M_p({\Rr})\) et \(B \in M_q({\Rr}).\) Calculer (en fonction de ...
exo7 1117
Sans calcul, montrer que \(\begin{vmatrix} 2 & 0 &4 \\5&2&7\\2&5&5\\ \end{vmatrix}\) est d ...
exo7 1118
Soit \(\Delta (x) = \det (a_{i, j} (x))\) de taille \(n = 2\) ou ...
exo7 1119
Calculer \(\begin{vmatrix} 1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\\ \end{vmatrix}\) et déterminer la co ...
exo7 1120
La famille \((2, 1, 0)\), \((1, 3, 1)\), ...
exo7 1123
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3. On se place dans \(\Rr^{n}.\) On note ...
exo7 1124
On note \(a,\) \(b,\) \(c\) des réels. Calculer ...
exo7 1125
On note \(a_1,\cdots,a_n\) des réels. Calculer les déterminants \(n\times n\) sui ...
exo7 1127
Soient \(a,\) \(b\) deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant. ...
exo7 1128
Calculer le déterminant de la matrice suivante : ...
exo7 1130
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1131
Soit \((a,x,y)\in\R^3\). Pour \(n\in\N\), ...
exo7 1132
Soit \((a,b)\in\R^2\) avec \(a\neq b\). Pour ...
exo7 1134
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1135
Calculer les déterminants suivants : ...
exo7 1137
Calculer les déterminants suivants :
...
exo7 1139
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 1140
Soit \(B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)\) et \(C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)\). On considère ...
exo7 1141
Calculer le déterminant suivant : ...
exo7 1144
Soit \((a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}\). On note \(j=e^{\frac{2i\pi}{3}}\), et ...
exo7 1146
Soit \(a\) un réel différent de 1. Pour \(n\in\N\), ...