Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
B - Déterminants
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★ Le déterminant est présenté dans sa version matricielle. L’interprétation géométrique en terme d’aire et de volume algébrique est faite via le produit mixte défini dans la section « Géométrie du plan et de l’espace ». Les capacités attendues sont la connaissance et l’utilisation des propriétés du déterminant permettant un calcul simple via des opérations élémentaires. Tout excès de technicité est exclu et l’outil informatique est utilisé dès que le calcul s’avère trop lourd. Le vocabulaire des formes multilinéaires alternées, le groupe symétrique et les formules de Cramer sont hors programme.
- a) Déterminant d’une matrice carrée 349
- b) Propriétés du déterminant 6
- c) Déterminant d’une famille de vecteurs, d’un endomorphisme 45
exo7 5861
Existe-t-il une norme \(N\) sur \(\mathcal{M}_n(\Rr)\) ( ...
exo7 5865
Soit \(A\in\mathcal{M}_p(\Cc)\), \(p\geqslant1\). Montrer que les trois propositi ...
exo7 5866
Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)\). Convergence et somme de la sé ...
exo7 5867
On munit \(\mathcal{M}_p(\Cc)\) d’une norme sous-multiplicative notée \(\|\;\|\). ...
exo7 5868
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\). Montrer qu’il existe \(p_0\in\Nn\) tel que ...
exo7 5869
Calculer \(\text{exp}(tA)\), \(t\in\Rr\), si
exo7 5870
Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)\). Ca ...
exo7 5872
Pour \(A\in\mathcal{M}_n(\Cc)\), calculer ...
exo7 5895
Soit ...
exo7 6358
On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) ...
exo7 6364
On considère \(A\) la matrice ...
exo7 6371
Dans \(GL(2,\Rr)\) : le groupe des matrices \((2,2)\) inversibles à coefficients ...
exo7 6438
Soit l’ensemble \(E=\Z \times \Z\) muni de l’opération binaire ...
exo7 6440
Soit l’ensemble de matrices ...
exo7 6498
Soit \(\C\) muni des opérations binaires
...
exo7 6872
Calculer (s’il existe) l’inverse des matrices : ...
exo7 6887
Calculer les déterminants suivant : ...
exo7 7346
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...
exo7 7358
Montrer que le groupe \(GL_2(\mathbb{F}_2)\) des matrices inversibles de taille ...
exo7 7365
Calculer les produits de matrices \(ADA^{-1}\) et \(BDB^{-1}\) dans ...
exo7 7508
Soit \(\R^2\) le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique.
exo7 7801
Montrer sans calcul que la matrice suivante \(A\) à coefficients complexes est inversible ...
exo7 7811
On considère dans \(\C ^4\) la matrice ...
exo7 7894
Déterminer la nature de l’espace vectoriel \(V\) des matrices anti-hermitiennes (i. e. ...
exo7 7901
Déterminer dans \(M(2,\Rr)\) une matrice \(I\) telle que ...
exo7 897
Soient dans \(\Rr^3\) les vecteurs \(\vec{v_1}(1,1,0)\), ...
exo7 913
Soit \(E\) un \({ \Cc}\)-espace vectoriel et ...
exo7 979
Montrer que les vecteurs ...
exo7 989
Dans \(\mathbb{R}^4\), on considère les familles de vecteurs suivantes
...
Inverse de matrice
Soient les matrices ...
Inverse de matrice et application
Soient les matrices ...
Inversibilité de matrices
Soit la matrice ...
Inversibilité de matrices
On considère les matrices: ...
Inversiblité de matrice
VRAI-FAUX - Soit \(A\) une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles so ...
Inversion d'une matrice
Soit ...
Matrices inversibles
Déterminer \(a\) tel que la matrice ...
Matrices inversibles
Dire si les matrices suivantes sont inversibles. Si oui, donner leur inverse :
...
Matrices, déterminants et inversion
Un système de communication encode des messages en transformant des vecteurs \(V \in \mathbb{R}^3\) en vecteurs co ...
Produit matriciel
Soient les matrices \(A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) et ...
Produit matriciel
On considère les matrices suivantes: ...
Produit matriciel et inverse
Soient \(A=\begin{pmatrix}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{pmatrix}\) et ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Racine carrée d'une matrice
On considère la matrice \[A= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}.\]
Résolution d'un système linéaire
Soit la matrice ...
Résolution d'équation matricielle
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices définies par ...
Trace de matrices
On rappelle que si \(A=\left(a_{i j}\right)_{\substack{1 \leq i \leq n \\ 1 \leq j \leq n}}\), alors la trace de ...
Triangularisation et décomposition nilpotente
Soit \(A\) la matrice ...
Étude d'une matrice à paramètres
Soit la matrice ...