Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Espaces vectoriels et applications linéaires
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- acquérir les notions de base relatives aux espaces vectoriels et à l’indépendance linéaire ;
- reconnaître les problèmes linéaires et les traduire à l’aide des notions d’espace vectoriel et d’application linéaire ;
- définir la notion de dimension, qui décrit le nombre de degrés de liberté d’un problème linéaire ; on insistera sur les méthodes de calcul de dimension et on fera apparaître que ces méthodes reposent sur deux types de représentation : paramétrisation linéaire d’un sous-espace, description d’un sous-espace par équations linéaires.
En petite dimension, l’intuition géométrique permet d’interpréter les notions de l’algèbre linéaire, ce qui facilite leur extension au cas général : on en tirera parti par de nombreuses figures.
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout développement théorique sur les espaces de dimension infinie est hors programme.
exo7 4085
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions \(f : \R \to \R\) de classe ...
exo7 4131
Soit un vecteur \(v=(v_1,v_2,v_3)\) de \(\R^3\) muni de sa base canonique ...
exo7 4284
Soit \(\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}\) avec ...
exo7 429
Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes de \(\mathbb{K}[X]\) te ...
exo7 430
Soit \(n \in \Nn^*\) fixé et \({\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}\), ...
exo7 4561
On note \(R\) l’ensemble des fractions rationnelles continues sur \([0,1]\) et po ...
exo7 4746
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(({\vec u}_n)\), ...
exo7 4765
Soient \(E,F\) deux evn et \(G = E \times F\). On pose pour ...
exo7 4777
Soit \(\cal O\) un ouvert non vide d’un ev normé \(E\). Montrer que ...
exo7 4784
Les solutions de l’équation \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) pour ...
exo7 4809
Soit \(E\) un evn de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On choisit ...
exo7 4859
Soient \(I,J,K\) trois points du plan. Montrer l’équivalence entre les trois propriétés :
a) ...
exo7 4860
On considère deux plans non parallèles de \({\cal E}_3\) ayant pour équation dans un repère ...
exo7 4861
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4862
Dans \({\cal E}_3\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k\,)\), on donne : ...
exo7 4863
Soit \(\cal E\) un espace affine de dimension 3, et \(D,D',D''\) troi ...
exo7 4864
Dans \({\cal E}_2\) muni d’un repère \((O,\vec i,\vec j)\), on considère les troi ...
exo7 4865
Soit \(ABCD\) un parallélogramme, et \(M \in (ABC)\). On note ...
exo7 4866
Soit \((O,\vec i,\vec j)\) un repère de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 4867
Soient \(\cal F\), \(\cal G\), deux sous-espaces affines de dimension finie d’un ...
exo7 4868
Soient \(\cal F\), \(\cal G\), deux sous-espaces affines disjoints de dimensions ...
exo7 4869
Soit la famille de droites : ...
exo7 4870
Soit \(f : {\cal E} \to {\cal E}\) affine telle qu’il existe \(p \in \N^*\) tel q ...
exo7 4871
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4872
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Déterminer le ...
exo7 4873
On fixe un repère \({\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)\) d’un espace affine de dimension 3. Reconaître l’ ...
exo7 4874
Dans un espace affine \({\cal E}\), on considère quatre points \(A,B,C,D\). Étudi ...
exo7 4875
Soit \({\cal P}\) un plan, et \(f : {\cal P} \to {\cal P}\) une application affin ...
exo7 4876
Soit \(\cal P\) un plan, \(\cal D\) une droite de ...
exo7 4877
Soient \(\pi,\pi'\) deux projections dans un espace affine \({\cal E}\) ayant ...
exo7 4878
Soit \(f : {\cal E} \to {\cal E}\) affine. On dit que \(f\) est une sym ...
exo7 4879
Dans un espace affine \({\cal E}\) on donne quatre points \(P,Q,P',Q'\) a ...
exo7 4880
On considère dans l’espace deux plans parallèles distincts \(\cal P\), ...
exo7 4881
Soient \(A_1,\dots,A_n\) \(n\) points de ...
exo7 4882
Dans l’espace, on considère un point \(O\) et un plan \(\cal P\) ne passant pas p ...
exo7 4883
Soit \({\cal E}\) un espace affine de dimension finie et ...
exo7 4884
Soit \((A,B,C)\) une base affine de \({\cal E}_2\), et ...
exo7 4885
Dans l’espace, les droites \((AA')\), \((BB')\), ...
exo7 4886
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4887
Soit \(P = A_1A_2\dots A_n\) un polygone à \(n\) sommets : on lui associe le poly ...
exo7 4891
Soient \(ABC\) et \(A'B'C'\) deux triangles tels que les parallèles à ...
exo7 4894
Dans le plan, on considère :
– trois points non alignés \(A,B,C\).
– trois points alignés ...
exo7 4895
Soient \(A,B,C\) trois points non alignés et \(M_1 \in (AB)\). On construit les p ...
exo7 4897
Soit \(ABC\) un triangle. On note : \(a = BC\), ...
exo7 4904
Soit \({\cal C}\) un cercle de centre \(O\), et ...
exo7 4934
Équation d’un cône
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la surface d’équation : ...
exo7 4936
Soit \({\cal E}\) un ellipsoïde d’équation ...
exo7 4938
On considère un point \(F\), un plan \(P\) ne passant pas par ...
exo7 4947
Soit \(ABCD\) un tétraèdre non aplati de l’espace. Pour \(X,Y \in \{A,B,C,D\}\) d ...
exo7 4948
Soient \({\cal T}_1\), \({\cal T}_2\) deux torseurs de sommes ...