Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
b) Intégrale d’une fonction continue sur un segment
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Intégrale d’une fonction continue sur un segment à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Interprétation géométrique de l’intégrale. Notations $\displaystyle\int_{[a,b]}f$, $\displaystyle\int_a^b f$, $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. |
Linéarité, positivité et croissance de l’intégrale. Inégalité triangulaire intégrale : $\left\lvert\displaystyle\int_{[a,b]}f\right\rvert\leqslant\displaystyle\int_{[a,b]}\lvert f\rvert$. | |
Relation de Chasles. | Extension de la notation $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ au cas où $b\leqslant a$. Propriétés correspondantes. |
Si $f$ est continue, à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et si $\displaystyle\int_{[a,b]}f=0$, alors $f=0$. | |
Intégrale d’une fonction paire ou impaire sur un segment centré en 0. Intégrale d’une fonction périodique sur un intervalle de période. | Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment. |
exo7 5742
Calculer \(\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx\) et ...
exo7 5743
Montrer que pour \(x\) réel de \([0,1[\), ...
exo7 5744
Montrer que pour tout réel \(x\), ...
exo7 5761
Pour \(x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\), on pose \(f(x) =\tan x\). ...
exo7 5766
Pour \(x\in\Rr\), on pose ...
exo7 5768
Existence et calcul de \(\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\ch(tx)\;dt\) (on admettra que ...
exo7 5769
Existence et calcul de \(\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}t^x\;dt\).
exo7 5770
Montrer que pour tout réel \(x\) strictement positif, ...
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5786
Montrer que la matrice de Hilbert ...
exo7 5856
On munit \(E=C^0([0,1],\Rr)\) de la norme \(1\) définie par ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5886
Montrer que \(\forall x>0\), ...
exo7 5917
En utilisant la définition d’une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
exo7 5918
Montrer qu’une fonction monotone sur \([a,b]\) est Riemann-intégrable sur ...
exo7 5919
Montrer qu’une fonction continue sur \([a,b]\) est Riemann-intégrable sur ...
exo7 5920
Montrer que la fonction \(f~:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) définie par : ...
exo7 5921
On dit qu’une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est négligeable si, pour to ...
exo7 5924
Montrer que si \(f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}\) est Riemann-intégrable, alors ...
exo7 5925
Le but de cette question est de montrer que \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt\) n’est pas absolument ...
exo7 6175
Montrer que toute fonction réglée sur \([0,1]\) s’approche uniformément par des fonctions en escalier.
exo7 6204
On désigne par \(E\) l’espace \(C([-1,1])\) muni de la norme uniforme et par ...
exo7 6210
Soit \(E=\Rr^n\) muni de sa norme euclidienne et \(f\) une application continue d ...
exo7 6331
Soit \(u,v\) deux applications de \([0,\beta]\) dans ...
exo7 6731
Calculer \(\int_C(x+2y)\ dx+(y-2x)\ dy\) le long de l’ellipse \(C\) définie par ...
exo7 6736
Soit \(f(z)={1\over 1+z^4}\). Montrer que \(\int_{\gamma _R}f(z)\ dz\) tend vers ...
exo7 6739
Soit \(f\) une fonction continue du quart de plan \(\{x+iy;\ x,y\geq0\}\) dans ...
exo7 6740
Soit \(w=|w|e^{i\theta}\) un nombre complexe.
exo7 6867
Calculer les intégrales suivantes :
exo7 7452
On considère dans le plan euclidien muni d’un repère orthonormé la courbe \(C\) d’équation polaire ...
exo7 7599
Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.
exo7 778
Déterminer les fonctions \(f\) de \([a, b]\) dans ...
exo7 779
Soient \(f \in C^{1} ([a, b], \Rr)\) et ...
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 781
Soit \(f \in C^{0} ([0, 1], \Rr)\) telle que \(\int_{0}^{1}{f (t)dt} = \frac 12\) ...
exo7 782
Soit \(f \in C^0 (\Rr)\). On définit \({g} : {\Rr^*} \to {\Rr}\), ...
exo7 783
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans ...
exo7 784
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue strictement croissante telle que : ...
exo7 785
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue, n’admettant qu’un nombre fini de zéros sur ...
exo7 787
Soit \(f\) continue sur \([0,\pi ]\) telle que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 790
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) à valeurs dans ...
exo7 791
Soit \((a,b)\in {\Rr}^{2}\) (\(a<b\)), et ...
exo7 792
Calculer sans utiliser de primitive, pour \(a<b\) : \[\int_{a}^{b}e^{t}dt.\] ...
exo7 793
Soit \(f\) continue de \([0,1]\) dans \({\Rr}\) ...
exo7 794
Soient \(f\) et \(g\) de \({\Rr}^{+}\) dans ...
exo7 795
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt.\] Éventuellemment, en donner ...
exo7 796
Calculer : \[\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{e^{-nx}}{1+x}dx.\] Soit ...
exo7 797
Soit \(f:[0,1]\rightarrow {\Rr}\) une application continue par morceaux, continue en ...