Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Fonctions d’une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité
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Dans cette section, on démontre les théorèmes de base relatifs aux fonctions réelles de variable réelle. Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de souligner cet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.
Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-d) et B-e), sont à valeurs réelles. On dit qu’une propriété portant sur une fonction $f$ définie sur $I$ est vraie au voisinage de $a$ si elle est vraie sur l’intersection de $I$ avec un intervalle ouvert centré en $a$ si $a$ est réel, avec un intervalle $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$, avec un intervalle $]-\infty,A[$ si $a=-\infty$.
L’étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ est l’occasion d’introduire la notion de vitesse de convergence. Sur des exemples, on met en évidence divers comportements (convergence lente, géométrique, quadratique) en explicitant le nombre d’itérations nécessaires pour obtenir une précision donnée. On pourra en particulier présenter la méthode de Newton. De même, l’étude de la dérivabilité donne un prétexte pour présenter la notion de discrétisation, à travers la méthode d’Euler.
exo7 5444
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et strictement positives sur ...
exo7 5449
Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\) ...
exo7 5450
Etude complète de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt\).
exo7 5453
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\). Pour ...
exo7 5454
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) une application de classe ...
exo7 5455
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) telle que ...
exo7 5464
Déterminer \(\lim_{x\rightarrow 1}\int_{x}^{x^2}\frac{dt}{\ln t}\).
exo7 5465
Soit \(f(t)=\frac{t^2}{e^t-1}\) si \(t\neq0\) et ...
exo7 547
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 548
Étudier la suite définie par \(u_0=0\) et ...
exo7 552
Étudier suivant les valeurs données à \(u_0\) appartenant à \(\mathbb{C}\) les su ...
exo7 553
Soit \(f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]\). On considère \(a\in [0,1]\) et la suite ...
exo7 554
Étudier la suite définie par \(u_{n+1}= (1-u_n)^2\) (discuter suivant les valeurs de ...
exo7 555
Soit \(f(x)=-x^3+x^2-x+1\) et \(a\in [0,1]\). Étudier la suite définie par ...
exo7 5553
Etudier l’existence et la valeur éventuelle d’une limite en \((0,0)\) des fonctions suivantes :
exo7 5554
On pose ...
exo7 5556
Soit ...
exo7 557
Étudier la suite définie par récurrence par \(u_0=a\) et \(u_{n+1}=\cos u_n\), où ...
exo7 571
Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a<b\). On ...
exo7 5721
Etude complète de \(f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt\).
exo7 5739
Montrer que \(\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}\) et ...
exo7 574
Soit \(n \geq 1\).
exo7 5771
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 5848
Soient \((E,N_E)\) et \((F,N_F)\) deux espaces vectoriels normés. Soient ...
exo7 5883
Trouver les fonctions \(f\) dérivables sur \(\Rr\) vérifiant ...
exo7 5885
Trouver toutes les applications \(f~:~\Rr\rightarrow\Rr\), continues sur \(\Rr\) ...
exo7 5896
Déterminer \(\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}\).
exo7 5902
Maximum du produit des distances d’un point \(M\) intérieur à un triangle \(ABC\) ...
exo7 604
Montrer que \(\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[\) solution de ...
exo7 606
Écrire les définitions des limites suivantes : \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=l\), ...
exo7 6066
Soit \(f\) une isométrie de \(\R\) dans \(\R\). ...
exo7 6068
Soit \(f\) une application continue de \(\R\) dans ...
exo7 6069
Soit \(f\) une application de \(\R\) dans \(\R\) ...
exo7 607
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant ...
exo7 6070
Existe-t-il une application continue \(f\) de \([0,1]\) dans ...
exo7 6071
On note pour tout \(x\in \Rr, \ \varphi(x)=\) dist\((x,\Zz)\).
exo7 6073
Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels normés et on note ...
exo7 6077
Soit \(C\) l’espace des fonctions continues réelles sur \([0,1]\) muni de la métr ...
exo7 608
Montrer que si une fonction \(f\) définie sur \(E\subset\R\) est continue en ...
exo7 609
Démontrer que \(\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{ x}=1}\).
exo7 610
Soit \(f\) une fonction de variable réelle telle que ...
exo7 611
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur ...
exo7 6116
Montrer que \(\Zz\) et \(\Qq\) (munis de la topologie induite par celle de ...
exo7 612
Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en \(+\infty\).
exo7 6122
Soit \(F\) l’application de \({\Rr}^+\) dans ...
exo7 613
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et ...
exo7 6132
Soit \(F\) un fermé de \(\Rr\), et \(f\) une app ...
exo7 6133
Soit \(n\to r_n\) une bijection de \(\Nn\) sur ...
exo7 614
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes à coefficients réels de degré respectif ...
exo7 6147
Existe-t-il une application continue \(f:{\R}\to{\R}\) telle que \(f(x)\in\Qq\) s ...