Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- ★ introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée et en établir les principales propriétés.★
exo7 1608
Soit \(M\) la matrice suivante : ...
exo7 1612
Soient trois vecteurs \(e_1,\) \(e_2,\) \(e_3\) ...
exo7 1613
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(3\) et de base ...
exo7 1614
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) et ...
exo7 1615
Soit \(A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).\) Trouver les valeurs propres de ...
exo7 1618
On considère les matrices suivantes ...
exo7 1619
Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. Soit \(A\) une matrice ...
exo7 1621
Soit \(T\) l’application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans ...
exo7 1624
Soit \(u\) l’application suivante : ...
exo7 1626
Soit \(A_{t}\) la matrice ...
exo7 1627
Pour quelles valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\) le ...
exo7 1629
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. ...
exo7 1632
Soit \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, et ...
exo7 1636
Soit ...
exo7 1637
On considère une matrice \(A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)\) et l’application ...
exo7 1639
Soit \(A\) la matrice ...
exo7 1641
Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables ?
...
exo7 1643
Dans l’espace vectoriel \(\R_{3}[X]\), on considère l’application linéaire suivante : ...
exo7 1644
On considère un réel \(\alpha\) et l’application \(T_{\alpha}\) suivante : ...
exo7 1647
Montrer que si \(A\) est une matrice symétrique réelle, alors \(A + iI\) est inve ...
exo7 1648
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\C^3\) dont la matrice par rapport à la base can ...
exo7 1649
Soit \(A\in M_n(\Rr)\) telle que \(A^2=-I .\)
exo7 1650
Soient \(\ M\) et \(N \in M_n (\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1654
Soit \(f \in \mathcal{L} (\R ^3)\) déterminée par sa matrice ...
exo7 1658
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base ca ...
exo7 1660
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1664
Étudier le caractère diagonalisable des matrices suivantes
exo7 1666
Soient les matrices ...
exo7 1668
On considère la matrice par blocs ...
exo7 1670
Pour tout élément non nul \(a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on ...
exo7 1671
Soit \(B\) une matrice diagonalisable de ...
exo7 1672
On considère l’endomorphisme \(a\) de \(E=\Rr^2\) dont la matrice représentative ...
exo7 1673
Soit \(K\) un corps commutatif quelconque, et soit \(F=\mathcal{M}_n(K)\) l’espac ...
exo7 1675
Soit l’endomorphisme \(f\) de \(\Rr^3\) canoniquement associé à la matrice ...
exo7 1686
Trigonaliser les matrices réelles suivantes :
exo7 1687
Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : ...
exo7 1690
Soit ...
exo7 1691
Les questions sont indépendantes. \(K\) désigne \(\Rr\) ou ...
exo7 1699
Soit \(u\in\mathcal{L}(\R^4)\) de matrice dans la base canonique : ...
exo7 1701
Soient \(n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}\) et \(f\) l’endomorphisme de l’espace ...
exo7 1702
Soit \(E\) un \(\R\)-espace vectoriel de dimension finie ...
exo7 1703
Soit \(A\in\mathcal{M}_{3}(\R)\) la matrice ...
exo7 1707
Réduire la matrice \[A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix}\] ...
exo7 1710
Donner toutes les suites \((x_{n})\), \((y_{n})\) et ...
exo7 1712
On considère la matrice ...
exo7 1714
Soit la matrice ...
exo7 1716
Calculer les puissances et l’exponentielle (\(e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}\)) des matrices suivantes : ...
exo7 1727
Soit \(A\in M_n(\mathbb{K} ) .\) On note ...
exo7 1728
Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Soient ...
exo7 1899
Soit \(A\in M_n(\Cc )\). Montrer quil existe une suite de matrices ...