Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
Matrices et déterminants
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Les objectifs de cette section sont les suivants :
- présenter les liens entre applications linéaires et matrices, de manière à exploiter les changements de registres (géométrique, numérique, formel) ;
- étudier l’effet d’un changement de bases sur la représentation matricielle d’une application linéaire et d’un vecteur ;
- ★ introduire la notion de déterminant d’une matrice carrée et en établir les principales propriétés.★
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Calculer \(A^k\) pour \(k \in \N\) :
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Inverser les matrices suivantes :
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Soient ...
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Soit \(f\) l’application linéaire de \(\R^4\) dans ...
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Soient ...
exo7 3402
Montrer que ...
exo7 3403
Montrer que ...
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Soient ...
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Les matrices ...
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Soit \(A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)\) telle que \(a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}\). Interpr ...
exo7 3407
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) telle que \(a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}\). ...
exo7 3409
Étudier l’existence de solutions du système :
...
exo7 3410
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3411
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3412
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3413
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3416
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3418
Étudier l’existence de solutions du système : ...
exo7 3419
Soit \((S) \iff AX = B\) un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de ...
exo7 3420
Soient \(f,f_1,\dots,f_p\) des formes linéaires sur \(K^n\) linéairement indépend ...
exo7 3423
Soient \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\), \(n\) scalaires distincts et ...
exo7 3424
Trouver trois réels \(\alpha, \beta, \gamma\) tels que pour tout polynôme de degré ...
exo7 3425
Résoudre le système : ...
exo7 3428
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre \(n\), et ...
exo7 3429
Soient \(A,B \in \mathcal{M}_n(\R)\) telles que \(AB = BA\). Montrer que ...
exo7 3430
Soient \(A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)\) avec \(A\) inversible et ...
exo7 3431
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\). Étudier le rang de \(\text{com}(A)\) en fonctio ...
exo7 3434
On considère un système linéaire homogène : \((S) \iff AX = 0\), avec ...
exo7 3436
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3437
Soient \(\vec a, \vec b, \vec c, \vec d\) quatre vecteurs d’un ev \(E\) de dimens ...
exo7 3438
Soit \(E\) un ev de dimension \(n\), ...
exo7 3440
Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel qu’il existe deux sev \(F,G\) supplémentaires e ...
exo7 3441
On note \(SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}\).
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Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) et ...
exo7 3444
Soient \(E\) un ensemble quelconque et \({f_1, \dots, f_n} : E \to K\) des foncti ...
exo7 3445
Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) telle qu’il existe \(a \ne 0\) tel que ...
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Soit \(M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)\) et \(q\in[[1,\min(n,p)]]\).
Pour ...
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Déterminer les cas d’annulation des déterminants suivants, puis les calculer :
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On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\), \(\alpha = e^{i\pi/n}\) et ...
exo7 3459
Soit \(k \le n-1\) et \(M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)\). Écrire ...
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Chercher les rangs des matrices suivantes :
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Chercher ...
exo7 3463
Chercher ...
exo7 3464
Chercher ...
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Soient \(A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)\) telles que ...
exo7 3466
Soit la matrice carrée d’ordre \(n\), \(I_p\) ( ...
exo7 3467
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) inversible et \(B\) la matrice obtenue en échange ...
exo7 3468
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(K)\). Montrer que : \(\mathrm{rg}(M) = 1 \iff\) il exi ...
exo7 3469
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(K)\) de rang 1. Montrer que \(A\) est une matrice de p ...
exo7 3470
Soient \(x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K\). On note \(A,B\) les matrices d ...