Texte officiel du programme
L’objectif de cette section est d’étudier les propriétés de base des polynômes et de les exploiter pour la résolution de problèmes portant sur les équations algébriques et les fonctions numériques.
On présente la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles, uniquement dans des situations simples. L’objectif est de présenter aux étudiants un outil qui leur permette de mener à bien des calculs d’intégration, de dérivation, de somme, etc.
Le programme se limite aux polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ où $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
- a) Ensemble des polynômes à une indéterminée 94
- b) Divisibilité et division euclidienne 112
- c) Fonctions polynomiales et racines 243
- d) Dérivation 112
- e) Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ et $\mathbb{R}[X]$ 81
- f) Décomposition en éléments simples de certaines fonctions rationnelles 70
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 710
Soient \(a\) et \(b\) deux réels et ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7212
Résoudre sur \(\C\) l’équation \[iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0,\] sachant qu’elle ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7303
Montrer que \(\Z \times \Z\) peut être muni d’une structure naturelle d’anneau.
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7315
Soit \(D ~:~ \R[X] \rightarrow \R[X]\) l’application de dérivation. Est-ce un morphisme de groupes ? Un morphisme ...
exo7 7316
Déterminer le pgcd et le ppcm des polynômes \(X^5 - 3X^4 + X^3 + 2X^2 - 6X +2\) et ...
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...
exo7 7319
Soit \(P = X^4 + 1 \in \C[X]\).
exo7 7320
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(d\) un diviseur de ...
exo7 7321
Déterminer les racines de \(X^2 - 1\) dans \(\Z/8\Z\). Comparer leur nombre au de ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7323
Montrer que \(X^2 + 4\) est irréductible dans \(\Z[X]\) mais réductible dans ...
exo7 7324
Donner la définition d’un groupe.
exo7 7328
Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?
exo7 7330
Résoudre dans \(\R[X]\) le système de congruences ...
exo7 7332
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7337
Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...
exo7 7339
Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...
exo7 7340
Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).
exo7 7341
Soit \(P=3x^5 - 6x^4 + x^3 + 5x^2 - 3x - 4\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 7346
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...
exo7 7359
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7368
Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de ...
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 7395
Montrer que le polynôme \(X^3+X+1\) est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\). ...
exo7 7396
Enoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7398
On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré \(2\) sur \(\mathbb{F}_2\) ...
exo7 740
On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par ...
exo7 7401
Enoncer le théorème de la division euclidienne dans \(k[X]\).
exo7 7405
Énoncer le théorème de Lagrange.
exo7 7542
Soit \(d\) un entier naturel. Montrer qu’une suite de polynômes ...
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 765
Montrer que \(\ch nx\) et \(\sh nx\) peuvent s’exprimer comme polynômes en ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
exo7 824
Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
exo7 825
Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
exo7 826
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 827
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : ...
exo7 922
Soit \(E = \R[X]\) l’espace vectoriel des polynômes. On définit ...
exo7 959
Soit \(E = \Rr_n[X]\) et soient \(A\) et \(B\) d ...
exo7 992
Soit \(E=\Rr_n[X]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ...
exo7 994
Soit \(E\) l’ensemble des fractions rationnelles \(F\) qui peuvent s’écrire ...