Programme de mathématiques PTSI · semestre 2
c) Fonctions polynomiales et racines
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine (ou zéro) d’un polynôme, caractérisation en termes de divisibilité. | Lien avec l’introduction aux équations algébriques de la section « Nombres complexes ». Méthode de Horner pour l’évaluation polynomiale. |
Le nombre de racines d’un polynôme non nul est majoré par son degré. Multiplicité d’une racine. Polynôme scindé. | Détermination d’un polynôme par la fonction polynomiale associée. |
Expressions de la somme et du produit des racines d’un polynôme scindé en fonction de ses coefficients. | Les fonctions symétriques élémentaires sont hors programme. |
exo7 6547
Calculer la somme des carrés des racines de l’équation \(x^3+2x-3=0\).
exo7 6548
Exprimer à l’aide des polynômes symétriques fondamentaux :
exo7 6551
Pour quelle valeur de \(\lambda\) les polynômes suivants ont-ils un zéro en commun ?
exo7 692
Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes : ...
exo7 6960
Trouver tous les polynômes \(P\) qui vérifient la relation \[P(X^2)=P(X)P(X+1)\] ...
exo7 6961
Soit \(n\in\Nn\). Montrer qu’il existe un unique \(P\in\Cc[X]\) tel que ...
exo7 6962
Soit \(P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\) un polynôme de degré \(n\ge 1\) à c ...
exo7 6972
Soit \(T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)\) pour \(x\in [-1,1]\).
exo7 702
Calculer les dérivées d’ordre \(n\) des fonctions : ...
exo7 715
Montrer que le polynôme \(P_n\) défini par ...
exo7 717
Montrer que le polynôme \(X^n+aX+b\), (\(a\) et ...
exo7 7212
Résoudre sur \(\C\) l’équation \[iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0,\] sachant qu’elle ...
exo7 7280
Montrer que pour tout \(\theta \in \Rr\), on a ...
exo7 7310
L’équation \(x^3 + x + 1 = 0\) a-t-elle des solutions dans \(\Z/2\Z\).
exo7 7318
Soit \(K\) un corps, et \(P \in K[X]\). Les assertions suivantes sont elles vraie ...
exo7 7321
Déterminer les racines de \(X^2 - 1\) dans \(\Z/8\Z\). Comparer leur nombre au de ...
exo7 7322
Soit \(P = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n \in \Z[X]\). On veut déterminer si \(P\) ...
exo7 7328
Le polynôme \((X^2+X+1)^3\) est-il irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\) ?
exo7 7333
Soit \(p=13\). Trouver une racine \(c\) de ...
exo7 7337
Les polynômes symétriques élémentaires en \(n\) indéterminées sont par définition ...
exo7 7339
Calculer \(P(2)\) où \(P=3x^4-x^2-16x-14\) par la méthode de Hörner. Effectuer la ...
exo7 7340
Le but de l’exercice est de factoriser le polynôme \(x^4 + 4x^3 - 81x^2 -16x + 308\).
exo7 7342
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la racine cubique réelle \(c\) de ...
exo7 7346
Montrer que le polynôme \(X^9-1\) de \(\mathbb{F}_3[X]\) vaut ...
exo7 7368
Le but de ce problème est de montrer que l’équation \(X^2+X+1=0\) peut avoir un nombre arbitrairement grand de ...
exo7 7379
Calculer, avec l’algorithme de Hörner appliqué au polynôme \(P(x)=x^2-7\), une valeur approchée à ...
exo7 756
Résoudre dans \(\Rr\) l’équation d’inconnue \(x\) : ...
exo7 7564
Développer si possible en séries entières au voisinage de \(0\) les applications
exo7 765
Montrer que \(\ch nx\) et \(\sh nx\) peuvent s’exprimer comme polynômes en ...
exo7 7820
Montrer que le polynôme quadratique à coefficients complexes avec \(a\not =0\) ...
exo7 786
Soit \((a,b)\in (\Nn^{*})^{2}\), \(n\in \Nn^{*},\) montrer que le polynôme ...
Factorisation d'un polynôme
Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par ...
Factorisation de polynôme et décomposition en éléments simples
On pose le polynôme \[Q(X)=X^3-(\sqrt{2}+5)X^2+(1+5\sqrt{2})X-5.\]
Matrice dépendant d'un paramètre
On considère la matrice
...
Multiplicité d'une racine
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme \[P(X)=X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5\]
En d ...
Multiplicité d'une racine et factorisation d'un polynôme
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine \(x_0\) du polynôme \(P\), et en ...
Multiplicité et factorisation
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels. Déterminer tous les polynômes de ...
Polynômes et division euclidienne
Déterminer les racines complexes de \(P(X)=X^4-4X^3+5X^2-2X\) ainsi que leur ordre de multiplicité.
Polynômes et décomposition en facteurs irréductibles
L’enjeu de cet exercice est la factorisation du polynôme \(R(X)=X^9+X^6+X^3+1\).
Polynômes — division euclidienne, factorisation et éléments simples
Pour \(n \in \mathbb{N}\), on considère le polynôme \(P_n(X) = X^n + 3X - 2\). On ...
Puissance d'une matrice à paramètres
Soit la matrice de ...
Racine multiple
Montrer que le polynôme \(P(X)=1+X+\frac{X^2}{2 !}+\frac{X^3}{3 !}+\ldots+\frac{X^n}{n !}\) n’a pas de racine mult ...
Reste de division euclidienne
On cherche, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le reste de la division euclidienne du polynôme ...