Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
Techniques fondamentales de calcul différentiel et intégral
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Le point de vue adopté dans cette section est pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, de mettre en œuvre les techniques de base de l’analyse. La mise en place rigoureuse des notions abordées fait l’objet de sections ultérieures.
Les objectifs de formation sont les suivants :
- l’introduction de fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d’optimisation ;
- la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;
- le calcul de dérivées et de primitives ;
- la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;
- l’application des deux points précédents aux équations différentielles.
Le cours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.
- A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes 387
- B - Primitives et équations différentielles linéaires 284
exo7 880
Résoudre : \(y''(x)+2y^{\prime }(x)+y(x)=2x\cos x\cosh x\).
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
exo7 882
Soit \(p\) continue positive non nulle ; montrer que toute solution de ...
exo7 883
Montrer que toute solution de \(y''(x)e^{-x^{2}}+y(x)=0\) est bornée sur ...
exo7 884
En posant \(t=\arctan x,\) résoudre : ...
exo7 885
Résoudre par le changement de fonction \(z=\frac{y}{x}\) l’équation différentielle : ...
exo7 891
Dire si les objets suivants sont des espaces vectoriels :
Fonction de $n$ variables et laplacien nul
Soit \(g \colon ]0;+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\). So ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Je dérive, je dérive
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, de dérivabilité et calculer la dérivée : ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...
Maximum de variables exponentielles et loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Pair, impair ou manque
Déterminer la parité des fonctions suivantes : ...
Primitives de fonctions
Déterminer toutes les primitives de \(f(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\).
Primitives de fonctions rationnelles
Calculer \(I_1=\displaystyle\int \frac{1}{x^2+1}\,dx\).
Primitives de fonctions rationnelles
L’objectif de cet exercice est de trouver l’expression explicite des primitives de \(x \to \frac{1}{(x^2 + 1)^2}\) ...
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Puissances
Simplifier les expressions suivantes.
...
Racines
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme \(a\,\sqrt{b}\) avec ...
Re des composée
Déterminer, pour les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes, le domaine de définition ...
Résolution d'une équation différentielle
Soit l’équation différentielle \((E)\) définie pour \(\alpha>0\) par : ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Score d'un perceptron sigmoïde : taille et poids
On reprend, sur des données fictives, un perceptron à deux entrées qui reçoit la taille \(t\) (en mètres) et le po ...
Solution d'équation différentielle développable en série entière
Trouver sous forme d’une série entière la solution de l’équation différentielle \((E)\): ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Une étape de descente de gradient sur un modèle linéaire
On cherche à ajuster un modèle linéaire de la forme \[\hat y = wx+b,\] où \(x\) ...
Équation différentielle du second ordre et intégrale double
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Équation différentielle linéaire du premier ordre — variation de la constante
On considère les équations différentielles, définies pour \(x > 0\) : ...
Études de fonctions
Etudier et représenter les fonctions suivantes : ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...