Programme de mathématiques PTSI · semestre 1
A - Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles ou complexes
Rechercher dans cette partie du programme- a) Généralités sur les fonctions 118
- b) Dérivation 163
- c) Fonctions usuelles 157
- d) Dérivation d’une fonction complexe d’une variable réelle 7
exo7 780
Soient \(0<a \leq b\). Montrer que ...
exo7 788
Soit \(f\in C([0,1],{\Rr})\) telle que : ...
exo7 789
Soit \(f\) une fonction \(C^{1}\) sur \([a,b]\) ...
exo7 799
Soit \(\varphi\) une fonction bornée sur \([a,b]\) ; comparer les assertions suiv ...
exo7 800
Soit \(f\) une fonction continue et strictement croissante de \([a,b]\) sur ...
exo7 804
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \([a,b]\), vérifiant ...
exo7 809
On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d’un cercle de rayon \(r\), lié à ce cercle, quand ...
exo7 811
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 813
Soit \(f:[a,b]\rightarrow \R\) une fonction strictement croissante et continûment dérivable. On considère les deux ...
exo7 814
Calculer les primitives suivantes : \[\int \frac{1}{\sqrt{2+x}+\sqrt[3]{2+x}}dx, \quad (t=\sqrt[6]{2+x}) \ ;\] ...
exo7 817
Soit \(f \in C^{2} ([a, b], \Rr)\).
exo7 829
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{\cos^3 x}{\sin x}\] ...
exo7 831
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\frac{8x-3}{\sqrt{12x-4x^2-5}}\] ...
exo7 833
Calculer les primitives suivantes : ...
exo7 834
Déterminer les intervalles d’étude et calculer les primitives des fonctions : \[\text{ch}x \sin (2x)\] ...
exo7 857
Soit \(f\in C^{1}({\Rr},\Cc),\alpha \in {\Rr}^{+*}.\) Montrer que si : ...
exo7 858
Soit \(f \in C^{1}({\Rr},{\Rr})\) telle que \(f(0)=1\) et ...
exo7 881
Déterminer les \(f\in C^{2}({\Rr},{\Rr})\) telles que : ...
Introduction aux séries de Fourier
Peut-on reconstruire une fonction périodique à partir des fonctions ...
Je dérive, je dérive
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition, de dérivabilité et calculer la dérivée : ...
Le problème du gradient vanishing
On considère un RNN simple scalaire sans entrée, pour isoler la dynamique de l’état caché : ...
Maximum de variables exponentielles et loi de Gumbel
Soit \((X_i)_{i\geq 1}\) une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes, suivant chacune la loi ex ...
Pair, impair ou manque
Déterminer la parité des fonctions suivantes : ...
Primitives de fonctions rationnelles
Calculer \(I_1=\displaystyle\int \frac{1}{x^2+1}\,dx\).
Propagation forward dans un RNN simple
On considère un RNN simple à un seul état caché, défini par les équations : ...
Puissances
Simplifier les expressions suivantes.
...
Racines
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme \(a\,\sqrt{b}\) avec ...
Re des composée
Déterminer, pour les fonctions \(f\) et \(g\) suivantes, le domaine de définition ...
Rétropropagation et problème du neurone mort
On étudie, sur un exemple simple, le calcul de la propagation avant et de la rétropropagation du gradient dans un réseau de neurones de régression. ...
Rétropropagation à travers le temps (BPTT)
On considère un RNN simple scalaire (\(h_t \in \mathbb{R}\)) défini par : ...
Score d'un perceptron sigmoïde : taille et poids
On reprend, sur des données fictives, un perceptron à deux entrées qui reçoit la taille \(t\) (en mètres) et le po ...
Transformations et propriétés de la loi log-normale
La loi log-normale de paramètres \(\mu\in\mathbb R\) et \(\sigma>0\), notée ...
Un pas de descente trop grand
On considère la fonction \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2\] et la descente de gradient à pas constant ...
Une rétropropagation de bout en bout
On considère un réseau à une entrée, un neurone caché et un neurone de sortie : ...
Une étape de descente de gradient sur un modèle linéaire
On cherche à ajuster un modèle linéaire de la forme \[\hat y = wx+b,\] où \(x\) ...
Études de fonctions
Etudier et représenter les fonctions suivantes : ...
Évaluer un perceptron à deux entrées, avec ou sans biais
On note \(H\) la fonction de Heaviside : \(H(t)=1\) si ...