Soient \(a > 1\) et \(b=1\) deux réels. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres \((a,1)\). Alors \(X\) admet pour densité la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in \R\) par : \[f(x)=\frac{a}{x^{a+1}} \mathbf{1}_{[1;+\infty[}(x).\] Soit \(\left(X_n\right)_{n \in \N^*}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi de Pareto de paramètres \((a,1)\).
Calculer l’espérance de \(X_1\).
On pose \(\displaystyle T_n = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \ln(X_i)}\). Montrer que \(T_n\) est un estimateur de \(a\) issu de la méthode du maximum de vraisemblance.
Montrer que \(a \ln(X_1)\) suit une loi exponentielle de paramètre \(1\).
En déduire l’espérance et la variance de \(\frac{1}{T_n}\).
Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(\frac{1}{T_n}\right)_{n \in \N^*}\) converge presque sûrement vers une constante que l’on déterminera.
Pour tout \(n \in \N^*\), on pose \(Z_n = \sqrt{n}\left(\frac{a}{T_n} - 1 \right)\). Montrer que la suite de variables aléatoires \(\left(Z_n\right)_{n \in \N^*}\) converge en loi vers une loi normale centrée réduite.
En déduire un intervalle de confiance au niveau de confiance \(95\%\) pour \(a\) sous la forme : \[\left[ \frac{\sqrt{n}-c}{\sqrt{n}}T_n~;~\frac{\sqrt{n}+c}{\sqrt{n}}T_n \right]\] où \(c\) est un réel à déterminer.