En 2008, le célèbre opérateur FSR proposait un forfait téléphonique de 1 heure mensuelle. Pour étudier la consommation des clients ayant opté pour ce forfait, il a relevé la proportion mensuelle du forfait consommé par 15 clients et a obtenu, après avoir ordonné les résultats :
\[0.29 \qquad 0.46 \qquad 0.51 \qquad 0.61 \qquad 0.70 \qquad 0.72 \qquad 0.76 \qquad 0.79\] \[0.84 \qquad 0.85 \qquad 0.86 \qquad 0.92 \qquad 0.94 \qquad 0.96 \qquad 1\]
Cette répartition suggère de modéliser les observations à l’aide d’une loi puissance de paramètre \((\lambda,1)\) avec \(\lambda>0\) dont la fonction densité est : \[f_\lambda(x) = \lambda \, x^{\lambda-1}\textbf{1}_{[0;1]}(x)\]
À l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, construire un estimateur du paramètre \(\lambda\), pour un \(n\)-échantillon \((X_1,...,X_n)\). On notera cet estimateur \(\widehat{\lambda_n}\).
On admet que la variable aléatoire \(2n\, \frac{\lambda}{\widehat{\lambda_n}}\) suit une loi \(\chi^2(2n)\). En déduire l’expression d’un intervalle de confiance de niveau \(1-\alpha\) sous la forme \(]-\infty~;~T]\) pour le paramètre \(\lambda\).