La fonction random disponible dans les logiciels de calcul permet de générer des nombres aléatoires sur l’intervalle \([0;1]\), distribués selon une loi uniforme \(\mathcal{U}([0;1])\). A partir de cette fonction, il est facile de simuler des variables aléatoires suivant d’autres lois. On donne ou on rappelle la définition de quelques lois usuelles :
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi de Rademacher \(\mathcal{R}(p)\) si :
\(\PP(X=1)=p\)
\(\PP(X=-1)=1-p\)
Définition : Soit \(\lambda >0\) : une variable \(X\) suit une loi de Laplace \(\mathcal{L}(\lambda)\) si elle admet pour densité : \[f_X(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|}\]
Définition : Soit \(p \in ]0;1[\) : une variable \(X\) suit une loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) si pour tout entier \(k \geq 1\) : \[\PP(Z=k)=p(1-p)^{k-1}\]
Notations : pour tout événement \(A\), on note \(\textbf{1}_A\) la fonction indicatrice de \(A\) ; pour tout \(x\) réel, on note \([x]\) la partie entière de \(x\).
Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes : \(X\) suit une loi Rademacher \(\mathcal{R}(1/2)\) et \(Y\) suit une loi uniforme sur \([0;1]\).
Soit \(\lambda >0\). On pose \(U = \frac{1}{\lambda} X \ln(Y)\).
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Calculer \(\PP(\ln(Y) \leq a, X=1)\) et \(\PP(\ln(Y) \geq a, X=-1)\)
Déterminer la fonction de répartition de la variable \(U\).
En déduire que \(U\) suit une loi de Laplace \(\mathcal{L}(\lambda)\).
Soit \(p \in ]0;1[\). On définit les variables \(Z = \frac{\ln(Y)}{\ln(1-p)}\) et \(V=1+[Z]\).
Déterminer la loi de \(Z\).
Démontrer que \(V\) suit une loi géométrique.