On appelle loi Gamma \(\Gamma(\alpha,\lambda)\) où \(\alpha>0\), \(\lambda>0\) la loi dont la densité est définie par \[f(t) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}t^{\alpha-1}e^{-\lambda t}\textbf{1}_{[0;+\infty[}(t)\] où \[\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}dx\] Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On pose \(Y=X^2\).
En étudiant sa fonction de répartition, montrer que \(Y\) suit une loi \(\Gamma(\frac12,\frac12)\).
Soit un entier \(n \geq 1\) et soit \(U_n\) une variable aléatoire suivant une loi \(\Gamma(\frac{n}{2},\frac12)\). Déterminer la fonction génératrice de \(U_1\) puis celle de \(U_n\) pour \(n \geq 1\).
Soient \((Z_1,...,Z_n)\) des variables i.i.d selon une loi normale centrée réduite. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \[\sum_{i=1}^{n}Z_i^2\]