Programme de mathématiques BCPST, première année · semestre 2
b) Théorème de Rolle et conséquences
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Théorème de Rolle. Formule des accroissements finis. | L’inégalité des accroissements finis est hors programme et doit être établie à chacune de ses utilisations. |
Caractérisation des fonctions croissantes (au sens large) par la positivité de leur dérivée. Cas des fonctions constantes. | |
Cas des fonctions strictement croissantes. | Une fonction continue définie sur un intervalle et dont, sauf peut-être en un nombre fini de points, la dérivée existe et est strictement positive, est strictement croissante. |
Recherche d’extrémums. |
Des inégalités sympathiques
Démontrer les inégalités suivantes : ...
exo7 1221
Montrer que pour tout \(x \in { \Rr}_+ , \sin(x) \leq x .\)
exo7 1224
Soit \(g\) une fonction \(2\) fois dérivable sur ...
exo7 1225
Soit \(f : { \Rr}\rightarrow { \Rr}\) une fonction deux fois dérivable telle que ...
exo7 1230
Soit \(f\) une fonction d’un intervalle \(I\) à valeurs dans ...
exo7 1234
Soit \(f\) une fonction dérivable et \(a\) un réel. Soit ...
exo7 1235
Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(0\) et ...
exo7 1268
Soit \(a\) un nombre réel et \(f : ] a , +\infty [ \rightarrow \Rr\) une applicat ...
exo7 1270
Soit \(f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})\) telle que ...
exo7 1272
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que ...
exo7 1730
Soit \(f\) une fonction \(C^2\) sur \(\Rr\) conv ...
exo7 1732
Soit \(f \in C^2 (\Rr)\) convexe.
exo7 2057
Soit \(f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}\) de classe \(C^{1},\) montrer que ...
exo7 2091
Soit \(f\,:\;\R\to\R\) une fonction continue sur \(\R\) et ...
exo7 2518
Soit \(f\) une application réelle continue et dérivable sur \(]a,b[\) telle que ...
exo7 2519
Montrer que l’identité des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant ...
exo7 2688
Soit \(f:[a,+\infty[ \to \R\) une fonction de classe \(C^1\), telle que
...
exo7 3190
Soit \(S\subset \N\) fini et \(P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]\).
exo7 3232
Soit \(P \in {\R[X]}\) dont toutes les racines sont réelles.
exo7 3239
Soit \(P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}\) dont les racines sont réelles simples.
exo7 3887
On pose ...
exo7 3937
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable et bornée telle que ...
exo7 3938
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que \(f'(x) \to \ell\) lorsque ...
exo7 3942
Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) dérivables avec : ...
exo7 3944
Soit \(f : {[a,b]} \to {\R}\) dérivable telle que \(f(a) = f(b) = 0\), et ...
exo7 3945
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) dérivable telle que \(f'(a) = f'(b)\).
...exo7 3947
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) \(n\) fois dérivable.
exo7 3948
Soit \(f : {[a,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(x) \to f(a)\) lorsque ...
exo7 3949
Soit \(f:\R \to \R\) dérivable telle que : ...
exo7 3950
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
exo7 3951
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
exo7 3953
On pose \(f(t) = (t^2-1)^n\).
exo7 3954
Soit \(n \in \N,\ n \ge 2\), et \(a,b \in \R\). Montrer que l’équation ...
exo7 3958
Pour \(k\in\N\), \(k\ge 2\), appliquer le théorème des accroissements finis à ...
exo7 3962
Soient \({u,v} : {\R} \to {\R}\) deux fonctions telles que : ...
exo7 3974
On pose \(f(x) = \sin x - \frac {3x}\pi + \frac {4x^3}{\pi^3}\). Montrer que : ...
exo7 3976
Soit \(f\) une application dérivable de \(\R\) dans ...
exo7 3978
Trouver toutes les fonctions \(\varphi : \R \to \R\) dérivables telles que ...
exo7 3979
On note \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe ...
exo7 3988
Soit \(f : \R \to \R\) deux fois dérivable telle que : \(f \ge 0\), ...
exo7 3989
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) deux fois dérivable telle que ...
exo7 3996
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
exo7 4006
Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que pour tous ...
exo7 4007
Soit \(f : {\R^+} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...
exo7 4009
Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\). On note ...
exo7 4012
Différences finies Soit \(f:\R \to \R\) de classe ...
exo7 4016
Soit \(f : {]0,+\infty[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que ...
exo7 4017
Soient \(P,Q\) deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs.
On n ...
exo7 421
Soit \(P \in \Rr[X]\) scindé sur \(\Rr\) à racines simples.
exo7 4251
Soit \(f : {[0, a[} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) telle que ...